Soalan # 69feb

Jawapan:

Barisan biasa: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Garis Tangent: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Penjelasan:

Untuk intuisi: Bayangkan fungsi itu #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # menggambarkan ketinggian beberapa medan, di mana # x # dan # y # adalah koordinat dalam pesawat dan #ln (y) # Dianggap sebagai logaritma semulajadi. Kemudian semua # (x, y) # seperti itu #f (x, y) = a # (ketinggian) sama dengan beberapa malar # a # dipanggil lengkung peringkat. Dalam kes kami ketinggian yang berterusan # a # adalah sifar, sejak #f (x, y) = 0 #.

Anda mungkin biasa dengan peta topografi, di mana garisan tertutup menunjukkan garis ketinggian yang sama.

Kini kecerunan (x) = ((separa f) / (separa x), (separa f) / (separa x)) = (e ^ x ln (y) - y, # memberi kita arah pada satu titik # (x, y) # di mana #f (x, y) # (ketinggian) perubahan yang paling pantas. Ini sama lurus ke atas atau lurus ke bawah bukit, selagi landskap kami lancar (berbeza), dan kita tidak berada di atas, di bahagian bawah atau di dataran tinggi (titik puncak). Ini sebenarnya adalah arah normal untuk lengkung ketinggian berterusan, seperti pada # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1).

Oleh itu, garis normal ke arah itu # (2, e ^ 2) # boleh digambarkan sebagai

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, di mana #s dalam mathbbR # adalah parameter sebenar. Anda boleh menghapuskan # s # untuk menyatakan # y # sebagai fungsi # x # jika anda lebih suka, mencari

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Derivatif arah dalam arah tangen mestilah #0# (bermakna ketinggian tidak berubah), jadi vektor tangen # (u, v) # mesti memuaskan

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, di mana # cdot # ertinya produk dot. Jadi # (u, v) = (1, e ^ 2) # adalah satu pilihan yang sah. Oleh itu, garis tangen melalui # (2, e ^ 2) # boleh digambarkan sebagai

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t dalam mathbbR #.

Penyelesaian untuk # y # memberikan itu

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Anda harus semestinya menyemaknya # (2, e ^ 2) # terletak pada lengkung #f (x, y) #, pada garis tangen, dan pada baris biasa.