Mengapa melengkapkan persegi berguna? + Contoh

Jawapan:

Untuk memudahkan ungkapan kuadratik supaya mereka dapat diselesaikan dengan akar persegi.

Penjelasan:

Melengkapkan alun-alun adalah contoh transformasi Tschirnhaus - penggunaan penggantian (walaupun secara tersirat) untuk mengurangkan persamaan polinom ke bentuk yang lebih mudah.

Oleh itu diberikan:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # dengan #a! = 0 #

kita boleh menulis:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#color (putih) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#color (putih) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#color (putih) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#color (putih) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)

#color (putih) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)

Oleh itu:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Jadi:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Oleh itu, bermula dengan persamaan kuadrat dalam bentuk:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

kami mendapatnya dalam bentuk # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # dengan #t = (2ax + b) # dan # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, menghapuskan istilah linier yang hanya meninggalkan segi kuasa.

Selagi kita senang mengira akar persegi, kini kita boleh menyelesaikan apa-apa persamaan kuadratik.

Melengkapkan segiempat juga berguna untuk mendapatkan persamaan bulatan, elips atau seksyen kerucut lain ke dalam bentuk piawai.

Sebagai contoh, diberikan:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

melengkapkan dataran yang kita dapati:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

membolehkan kita mengenal pasti persamaan ini sebagai bulatan dengan pusat #(2, -3)# dan jejari #5#.