Menggunakan definisi konvergensi, bagaimana anda membuktikan bahawa urutan {5+ (1 / n)} menumpuk dari n = 1 ke tak terhingga?

Katakanlah:

#a_n = 5 + 1 / n #

kemudian untuk apa-apa # m, n dalam NN # dengan #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

sebagai #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

dan sebagai # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Memandangkan nombor sebenar #epsilon> 0 #, kemudian pilih integer #N> 1 / epsilon #.

Untuk mana-mana bilangan bulat # m, n> N # kami ada:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

yang membuktikan keadaan Cauchy untuk penumpuan urutan.