Bagaimana untuk menyelesaikan inte ^ xcosxdx?

Jawapan:

#int e ^ x cos (x) "d" x = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)

Penjelasan:

# I = int e ^ x cos (x) "d" x #

Kami akan menggunakan integrasi oleh bahagian, yang menyatakan itu #int u "d" v = uv-int v "d" u #.

Gunakan integrasi dengan bahagian, dengan # u = e ^ x #, # du = e ^ x "d" x #, # "d" v = cos (x) "d" x #, dan # v = sin (x) #:

# I = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) "d" x #

Gunakan integrasi dengan bahagian lagi ke integral kedua, dengan # u = e ^ x #, # "d" u = e ^ x "d" x #, # "d" v = sin (x) "d" x #, dan # v = -cos (x) #:

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) "d" x #

Sekarang, ingat kita jelas # I = int e ^ x cos (x) "d" x #. Oleh itu, persamaan di atas menjadi berikut (ingat untuk menambah integrasi yang berterusan):

# I = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -I + C #

(X) + e ^ xcos (x) + C = e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

# I = 1 / 2e ^ x (sin (x) + cos (x)) + C #

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Menggunakan identiti de Moivre

# e ^ (ix) = cos x + i sin x # kita ada

#int e ^ x cos x dx = "Re" int e ^ x (cos x + i sin x) dx = "Re" int e ^ (x + ix) dx #

tetapi #int ^^ (1 + i) x) dx = 1 / (1 + i) e ^ ((1 + i) x) = (1-i) / 2 e ^ x e ^ (ix)

# = (1-i) / 2e ^ x (cos x + isinx) = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + i1 / 2e ^ x (sinx -cosx) #

dan akhirnya

#int e ^ x cos x dx = 1 / 2e ^ x (cosx + sinx) + C #