Bagaimana anda mencari nilai min maksimum maksimum dan mutlak f pada selang yang diberikan: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) pada [-1, 5]?

Jawapan:

Reqd. nilai melampau adalah # -25 / 2 dan 25/2 #.

Penjelasan:

Kami menggunakan penggantian # t = 5sinx, t dalam -1,5 #.

Perhatikan bahawa penggantian ini dibenarkan, kerana, # t dalam -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, yang memegang yang baik, sebagai pelbagai # sin # keseronokan. adalah #-1,1#.

Sekarang, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Sejak, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Oleh itu, reqd. kaki adalah # -25 / 2 dan 25/2 #.

Jawapan:

Cari monotoni fungsi dari tanda turunan dan tentukan yang maksimum / minimum setempat adalah yang terbesar, terkecil.

Maksimum mutlak ialah:

#f (3.536) = 12.5 #

Minimum mutlak ialah:

#f (-1) = - 4.899 #

Penjelasan:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Derivatif fungsi:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2)

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12.5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12.5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12.5) -t) (sqrt (12.5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2)

• Pengangka mempunyai dua penyelesaian:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Oleh itu, pengangka adalah:

  Negatif untuk #t dalam (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Positif untuk #t dalam (-3.536,3.536) #

• Penyebutnya sentiasa positif dalam # RR #, kerana ia adalah akar kuasa dua.

  Akhirnya, julat diberikan adalah #-1,5#

Oleh itu, fungsi derivatif adalah:

- Negatif untuk #t di -1,3.536 #

- Positif untuk #t dalam (3.536,5) #

Ini bermakna graf kali pertama naik dari #f (-1) # kepada #f (3.536) # dan kemudian turun ke #f (5) #. Ini menjadikan #f (3.536) # maksimum mutlak dan nilai terbesar #f (-1) # dan #f (5) # adalah minimum mutlak.

Maksimum mutlak ialah #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Untuk maksimum mutlak:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4.899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Oleh itu, #f (-1) = - 4.899 # adalah minimum mutlak.

Anda dapat melihat dari graf di bawah ini bahawa ini benar. Hanya abaikan bahagian yang tinggal #-1# kerana ia keluar dari domain:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14.4, 21.63, -5.14, 12.87}