Apakah extrema setempat, jika ada, daripada f (x) = (xlnx) ^ 2 / x?

Jawapan:

#f_min = f (1) = 0 #

#f_max = f (e ^ (- 2)) lebih kurang 0.541 #

Penjelasan:

#f (x) = (xlnx) ^ 2 / x #

# = (x ^ 2 * (lnx) ^ 2) / x #

# = x (lnx) ^ 2 #

Memohon peraturan produk

#f '(x) = x * 2lnx * 1 / x + (lnx) ^ 2 * 1 #

# = (lnx) ^ 2 + 2lnx #

Untuk maxima tempatan atau minima: #f '(x) = 0 #

Biarkan # z = lnx #

#:. z ^ 2 + 2z = 0 #

#z (z + 2) = 0 -> z = 0 atau z = -2 #

Oleh itu untuk maksimum atau minimum tempatan:

#lnx = 0 atau lnx = -2 #

#:.x = 1 atau x = e ^ -2 lebih kurang 0.135 #

Sekarang periksa graf #x (lnx) ^ 2 # di bawah.

graf {x (lnx) ^ 2 -2.566, 5.23, -1.028, 2.87}

Kita boleh melihat bahawa mudah #f (x) # mempunyai minimum tempatan pada # x = 1 # dan maksimum tempatan pada #x dalam (0, 0.25) #

Oleh itu: #f_min = f (1) = 0 # dan #f_max = f (e ^ (- 2)) lebih kurang 0.541 #