Pertimbangkan 3 lingkaran jejari yang sama r dalam lingkungan radius R yang masing-masing untuk menyentuh dua yang lain dan bulatan yang diberikan seperti ditunjukkan dalam gambar, maka kawasan kawasan yang teduh sama dengan?

Kita boleh membentuk ungkapan untuk kawasan rantau yang berlorek seperti:

#A_ "berlorek" = piR ^ 2 - 3 (pir ^ 2) -A_ "pusat" #

di mana #A_ "pusat" # adalah kawasan seksyen kecil antara tiga lingkaran yang lebih kecil.

Untuk mencari kawasan ini, kita boleh menarik segitiga dengan menghubungkan pusat tiga bulatan putih yang lebih kecil. Oleh kerana setiap bulatan mempunyai radius # r #, panjang setiap sisi segi tiga adalah # 2r # dan segitiga sama sama ada sudutnya # 60 ^ o # setiap.

Oleh itu, kita boleh mengatakan bahawa sudut rantau tengah adalah kawasan segi tiga ini tolak tiga sektor bulatan. Ketinggian segitiga adalah semata-mata #sqrt ((2r) ^ 2-r ^ 2) = sqrt (3) r ^ #, jadi kawasan segi tiga adalah # 1/2 * base * height = 1/2 * 2r * sqrt (3) r = sqrt (3) r ^ 2 #.

Kawasan tiga segmen segmen dalam segitiga ini pada asasnya adalah kawasan yang sama seperti separuh daripada satu lingkaran (kerana mempunyai sudut # 60 ^ o # setiap, atau #1/6# bulatan, supaya kita dapat menyimpulkan jumlah kawasan sektor ini # 1/2 pir ^ 2 #.

Akhirnya, kita boleh bekerja di kawasan kawasan tengah #sqrt (3) r ^ 2-1 / 2pir ^ 2 = r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Oleh itu, kembali kepada ungkapan asal kami, kawasan kawasan yang berlorek adalah

# piR ^ 2-3pir ^ 2-r ^ 2 (sqrt (3) -pi / 2) #

Jawapan:

#A = r ^ 2 (1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3)) #

Penjelasan:

Mari kita memberi jejari putih radius # r = 1 #. Pusat-pusat ini membentuk segitiga sama sisi #2#. Setiap median / ketinggian adalah #sqrt {3} # jadi jarak dari puncak ke centroid ialah # 2/3 sqrt {3} #.

Centroid adalah pusat bulatan besar sehingga jarak antara pusat bulatan besar dan pusat bulatan kecil. Kami menambah jejari kecil # r = 1 # untuk mendapatkan

#R = 1 + 2/3 sqrt {3} #

Kawasan yang kita cari adalah kawasan bulatan besar yang kurang segi tiga sama sisi dan sisanya #5/6# setiap bulatan kecil.

#A = pi R ^ 2 - 3 (5/6 pi r ^ 2) - sqrt {3} / 4 (2r) ^ 2 #

#A = pi (1 + 2/3 sqrt {3}) ^ 2 - 3 (5/6 pi) - sqrt {3} #

#A = 1/6 (8 sqrt (3) - 1) pi - sqrt (3) #

Kami skala oleh # r ^ 2 # secara umum.