Bagaimana anda mencari fungsi kuadrat f (x) = ax² + bx + c yang diberikan nilai minimum -4 apabila x = 3; satu sifar ialah 6?

Jawapan:

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

Penjelasan:

Fungsi kuadratik adalah simetrik mengenai garis puncak mereka, iaitu pada x = 3 jadi ini menandakan sifar lain berada pada x = 0.

Kita tahu titik tersebut berlaku pada x = 3 jadi derivatif pertama fungsi yang dinilai pada x = 3 akan menjadi sifar.

#f '(x) = 2ax + b #

#f '(3) = 6a + b = 0 #

Kita juga tahu nilai fungsi itu sendiri pada x = 3, #f (3) = 9a + 3b + c = -4 #

Kami mempunyai dua persamaan tetapi tiga tidak diketahui, jadi kami memerlukan persamaan yang lain. Lihat sifar yang diketahui:

#f (6) = 0 = 36a + 6b + c #

Kami mempunyai sistem persamaan sekarang:

# ((6, 1, 0), (9,3,1), (36,6,1)) ((a), (b), (c)) = ((0), (- 4) (0)) #

Untuk membuang penyelesaian yang kami mahu mengurangkan matriks pekali kami kepada bentuk eselon yang dikurangkan menggunakan operasi baris asas.

Majukan baris pertama dengan #1/6#

#((1, 1/6, 0),(9,3,1),(36,6,1))#

Tambah #-9# kali baris pertama ke baris kedua:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(36,6,1))#

Tambah #-36# kali baris pertama ke ketiga:

#((1, 1/6, 0),(0,3/2,1),(0,0,1))#

Berganda baris kedua dengan #2/3#

#((1, 1/6, 0),(0,1,2/3),(0,0,1))#

Tambah #-2/3# kali baris ketiga ke baris kedua:

#((1, 1/6, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Tambah #-1/6# kali kedua ke yang pertama

#((1, 0, 0),(0,1,0),(0,0,1))#

Melakukan siri operasi ke vektor penyelesaian memberikan:

#((4/9),(-8/3),(0))#

Jadi membaca penyelesaian yang kami ada # a = 4/9 dan b = -8 / 3 #

#f (x) = 4 / 9x ^ 2 - 8 / 3x #

graf {4/9 x ^ 2 - 8/3 x -7.205, 12.795, -5.2, 4.8}