Fungsi 3x ^ (3) + 6x ^ (2) + 6x + 10 adalah maxima, minima atau point of inflection?

Jawapan:

Tiada min atau maksima
Point of Inflection at #x = -2 / 3 #.

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Penjelasan:

Mins dan Maxes

Untuk yang diberikan # x #- nilai (mari kita panggilnya # c #) untuk menjadi max atau min untuk fungsi tertentu, ia mesti memenuhi perkara berikut:

#f '(c) = 0 # atau tidak jelas.

Nilai-nilai ini # c # juga dipanggil anda mata kritikal.

Nota: Tidak semua mata kritikal adalah min / min, tetapi semua max / min adalah mata kritikal

Jadi, mari kita cari ini untuk fungsi anda:

#f '(x) = 0 #

# => d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10) = 0 #

# => 9x ^ 2 + 12x + 6 = 0 #

Ini tidak menjadi faktor, jadi mari kita cuba rumus kuadrat:

#x = (-12 + - sqrt (12 ^ 2 - 4 (9) (6))) / (2 (9)) #

# => (-12 + -sqrt (-72)) / 18 #

… dan kita boleh berhenti di sana. Seperti yang dapat anda lihat, kami mempunyai nombor negatif di bawah kekunci kuasa dua. Oleh itu, terdapat tiada mata kritikal yang sebenar untuk fungsi ini.

Mata Infleksi

Sekarang, mari kita temukan titik mata. Ini adalah titik di mana graf mempunyai perubahan dalam keruntuhan (atau kelengkungan). Untuk satu titik (panggil ia # c #) untuk menjadi titik infleksi, ia mesti memenuhi perkara berikut:

#f '' (c) = 0 #.

Nota: Tidak semua titik tersebut adalah mata peredaran, tetapi semua titik infleksi mesti memenuhi ini.

Oleh itu mari kita cari ini:

#f '' (x) = 0 #

# => d / dx (d / dx (3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10)) = 0 #

# => d / dx (9x ^ 2 + 12x + 6 = 0) #

# => 18x + 12 = 0 #

# => x = -12/18 = -2 / 3 #

Kini, kita perlu menyemak sama ada ini sebenarnya titik pergeseran. Oleh itu, kita perlu mengesahkannya #f '' (x) # sebenarnya sebenarnya menukar tanda pada #x = -2 / 3 #.

Jadi mari kita menguji nilai-nilai ke kanan & kiri #x = -2 / 3 #:

Betul:

#x = 0 #

#f '' (0) = 12 #

Ditinggalkan:

#x = -1 #

#f '' (- 1) = -6 #

Kami tidak peduli seberapa banyak nilai sebenar, tetapi seperti yang dapat kita lihat dengan jelas, ada nombor positif di sebelah kanan #x = -2 / 3 #, dan nombor negatif di sebelah kiri #x = -2 / 3 #. Oleh itu, ia sememangnya satu titik infleksi.

Untuk Meringkaskan, #f (x) # tidak mempunyai mata kritikal (atau min atau maksima), tetapi ia mempunyai titik infleksi pada #x = -2 / 3 #.

Mari kita lihat graf #f (x) # dan lihat apa maksud ini:

graf {3x ^ 3 + 6x ^ 2 + 6x + 10 -10, 10, -10, 20}

Grafik ini meningkat di mana-mana, jadi ia tidak mempunyai tempat di mana derivatif = 0. Walau bagaimanapun, ia tidak dapat dibongkarkan (cekung ke bawah) #x = -2 / 3 #.

Harap yang membantu:)