Panjang 20 cm tali dipotong menjadi dua kepingan. Salah satu bahagian yang digunakan untuk membentuk satu perimeter persegi?

Jawapan:

# "Jumlah kawasan minimum = 10.175 cm²." #

# "Jumlah maksimum area = 25 cm ²." #

Penjelasan:

# "Nama x panjang sekeping untuk membentuk persegi." #

# "Kemudian kawasan persegi adalah" (x / 4) ^ 2 "." #

# "Perimeter segitiga ialah" 20-x "." #

# "Jika y adalah salah satu sisi yang sama segi tiga, maka kita mempunyai" #

# 2 * y + sqrt (y ^ 2 + y ^ 2) = 20-x #

# => y * (2 + sqrt (2)) = 20-x #

# => y = (20-x) / (2 + sqrt (2)) #

# => area = y ^ 2/2 = (20-x) ^ 2 / ((4 + 2 + 4 sqrt (2)) * 2)

# = (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

# "Jumlah kawasan =" (x / 4) ^ 2 + (20-x) ^ 2 / (12 + 8 sqrt (2)) #

40 x / (12 + 8 sqrt (2)) + 400 / (12 + 8sqrt (2)) # # x ^ 2/16 + x ^

# = x ^ 2 (1/16 + 1 / (12 + 8sqrt (2))) - (40 / (12 + 8sqrt (2))) x + 400 / (12 + 8sqrt (2)

# "Ini adalah parabole dan minimum untuk parabole" #

#a x ^ 2 + b x + c = 0 "adalah" x = -b / (2 * a) ", jika a> 0." #

# "Maksimum adalah" x-> oo ", jika a> 0." #

# "Jadi minimum adalah" #

#x = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / (1/8 + 1 / (6 + 4sqrt (2)) #

# = 40 / (12 + 8sqrt (2)) / ((6 + 4sqrt (2) +8) / (8 (6 + 4sqrt (2)))) #

# = 160 / (14 + 4 sqrt (2)) #

# = 160 * (14-4 sqrt (2)) / (196-32) #

# = (160/164) * (14-4 * sqrt (2)) #

# = (80/41) * (7-sqrt (8)) #

# = 8.13965 "cm" #

# => "Jumlah kawasan =" 10.175 "cm²." #

# "Maksimumnya ialah x = 0 atau x = 20." #

# "Kami memeriksa kawasan tersebut:" #

# "Bila" x = 0 => "area =" 400 / (12 + 8sqrt (2)) = 17.157 "cm²" #

# "Bila" x = 20 => "area =" 5 ^ 2 = 25 "cm²" #

# "Jadi jumlah keseluruhan maksimum adalah 25 cm ²." #

Jawapan:

Kawasan minimum ialah #10.1756# dan maksimum ialah #25#

Penjelasan:

Perimeter segitiga isosceles sebelah kanan sebelah kanan # a # adalah # a + a + sqrt2a = a (2 + sqrt2) # dan kawasannya adalah # a ^ 2/2 #,

Biarkan satu keping menjadi # x # cm. dari mana kita membentuk segitiga isosceles yang betul bersudut. Adalah jelas bahawa sebelah kanan segi tiga isosceles bersudut # x / (2 + sqrt2) # dan kawasannya akan menjadi

# x ^ 2 / (2 (2 + sqrt2) ^ 2) = x ^ 2 / (2 (6 + 4sqrt2)) #

= # (x ^ 2 (6-4sqrt2)) / (2 (36-32)) = (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

Perimeter bahagian lain rentetan yang membentuk persegi ialah # (20-x) # dan sebagai sisi persegi ialah # (20-x) / 4 # kawasannya adalah # (20-x) ^ 2/16 # dan jumlah kawasan # T # daripada kedua-duanya

# T = (20-x) ^ 2/16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # (400-40x + x ^ 2) / 16 + (x ^ 2 (3-2sqrt2)) / 4 #

= # 25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) #

Perhatikan itu # 3-2sqrt2> 0 #, maka pekali # x ^ 2 # adalah positif dan oleh itu kita akan mempunyai minima dan kita boleh menulis # T # sebagai

# T = 0.1054x ^ 2-2.5x + 25 #

= # 0.1054 (x ^ 2-23.7192x + (11.8596) ^ 2) + 25-0.1054xx (11.8596) ^ 2 #

= # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

Sebagai # 0.1054 (x-11.8596) ^ 2 # sentiasa positif, kami mempunyai nilai minimum # T # bila # x = 11.8596 #.

Perhatikan bahawa secara teoritik tidak terdapat maksima untuk fungsi, tetapi sebagai nilai # x # terletak di antara #0,20#, dan bila # x = 0 #, kita ada # T = 0.1054 (0-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx11.8596 ^ 2 + 10.1756 = 25 #

dan bila # x = 20 # bila # T = 0.1054 (20-11.8596) ^ 2 + 10.1756 #

= # 0.1054xx8.1404 ^ 2 + 10.1756 = 17.16 #

dan maka maxima adalah #25#

graf {25- (5x) / 2 + x ^ 2 (1/16 + (3-2sqrt2) / 4) -11.92, 28.08, -0.96, 19.04}