Bagaimana anda mendapati volum pepejal yang dijana oleh pusingan rantau yang dibatasi oleh lengkung y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) berputar mengenai y = 4?

Jawapan:

# V = 685 / 32pi # unit padu

Penjelasan:

Pertama, lakarkan grafik.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-intercept

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # Dan kita ada # {(x = 0), (x = 1):} #

Jadi pemintas adalah #(0,0)# dan #(1,0)#

Dapatkan puncak:

# y_1 = x ^ 2 -x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Oleh itu, puncak adalah pada #(1/2,-1/4)#

Ulang sebelumnya:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # Dan kita ada # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Jadi pemintas adalah # (sqrt (3), 0) # dan # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Oleh itu, puncak adalah pada #(0,3)#

Keputusan:

Bagaimana untuk mendapatkan kelantangan? Kami akan menggunakan kaedah cakera!

Kaedah ini adalah semata-mata bahawa: # "Volume" = piint_a ^ by ^ 2dx #

Idea ini mudah, namun anda perlu menggunakannya secara bijak.

Dan itulah yang akan kita lakukan.

Mari memanggil jumlah kami # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: Saya ambil # (4-y) # kerana # y # hanya jarak dari # x #-kali kepada lengkung, sedangkan kami ingin jarak dari garis # y = 4 # ke lengkung!

Sekarang untuk mencari # a # dan # b #, kita menyamakannya # y_1 # dan # y_2 # dan kemudian selesaikan # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1.5), (x = -1):} #

Sejak # a # datang dahulu # b #, # => a = -1 # dan # b = 1.5 #

(= 1) ^ (1.5) x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

x = 5> x ^ 4/2 (7x ^ 3) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Adakah sama untuk # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = warna (biru) ((685pi) / 32) #

Gunakan kaedah cengkerang silinder untuk mencari jumlah yang dijana y berputar rantau yang dibatasi oleh lengkung yang diberi tentang paksi-x?

Lihat jawapan di bawah:

Bagaimanakah anda dapati jumlah padu yang dijana oleh pusingan rantau yang dibatasi oleh graf persamaan y = sqrtx, y = 0, dan x = 4 mengenai paksi y?

V = 8pi unit voltan Pada asasnya masalah yang anda miliki adalah: V = piint_0 ^ 4 ((sqrtx)) ^ 2 dx Ingatlah, jumlah pepejal diberikan oleh: V = piint (f (x) Intergral asal kami sepadan dengan: V = piint_0 ^ 4 (x) dx Yang seterusnya sama dengan: V = pi [x ^ 2 / (2)] antara x = 0 sebagai had yang lebih rendah dan x = 4 sebagai had atas kami. Menggunakan Teorem asas Kalkulus, kita menggantikan had kami ke dalam ungkapan bersepadu kami sebagai tolak had yang lebih rendah dari had atas. V = pi [16 / 2-0] V = 8pi unit volum

Bagaimanakah anda dapati volum pepejal yang dijana oleh pusingan rantau terikat dengan graf y = -x + 2, y = 0, x = 0 mengenai paksi-y?

Lihat jawapan di bawah: