Adakah terdapat cara yang sistematik untuk menentukan bilangan nombor antara 10 dan, katakan, 50, yang dapat dibahagikan dengan digit unit mereka?

Jawapan:

Bilangan nombor antara #10# dan # 10k # dibahagikan dengan digit unit mereka boleh diwakili sebagai

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n) #

di mana #fl (x) # mewakili fungsi lantai, pemetaan # x # kepada integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan # x #.

Penjelasan:

Ini bersamaan dengan menanyakan bilangan bilangan bulat # a # dan # b # wujud di mana # 1 <= b <5 # dan # 1 <= a <= 9 # dan # a # membahagi # 10b + a #

Perhatikan bahawa # a # membahagi # 10b + a # jika dan hanya jika # a # membahagi # 10b #. Oleh itu, ia cukup untuk mencari berapa banyak perkara tersebut # b #s ada untuk setiap # a #. Juga, ambil perhatian bahawa # a # membahagi # 10b # jika dan hanya jika setiap faktor utama # a # juga merupakan faktor utama # 10b # dengan kepelbagaian yang sesuai.

Oleh itu, semua yang tersisa adalah melalui setiap # a #.

#a = 1 #: Oleh kerana semua bilangan bulat dibahagi oleh #1#, kesemua empat nilai untuk # b # kerja.

# a = 2 #: Sebagai #10# boleh dibahagikan dengan #2#, kesemua empat nilai untuk # b # kerja.

# a = 3 #: Sebagai #10# tidak boleh dibahagi oleh #3#, kita mesti ada # b # yang boleh dibahagi oleh #3#, itu dia, # b = 3 #.

# a = 4 #: Sebagai #10# boleh dibahagikan dengan #2#, kita mesti ada # b # seperti yang dibahagi oleh #2# untuk mempunyai kepelbagaian yang sesuai. Oleh itu, # b = 2 # atau # b = 4 #.

# a = 5 #: Sebagai #10# boleh dibahagikan dengan #5#, kesemua empat nilai untuk # b # kerja.

# a = 6 #: Sebagai #10# boleh dibahagikan dengan #2#, kita mesti ada # b # seperti yang dibahagi oleh #3#, itu dia, # b = 3 #.

# a = 7 #: Sebagai #10# tidak boleh dibahagi oleh #7#, kita mesti ada # b # seperti yang dibahagi oleh #7#. Tetapi #b <5 #, dan tiada nilai untuknya # b # kerja-kerja.

# a = 8 #: Sebagai #10# boleh dibahagikan dengan #2#, kita mesti ada # b # seperti yang dibahagi oleh #4#, itu dia, # b = 4 #

# a = 9: # Sebagai #10# tidak boleh dibahagi oleh #3#, kita mesti ada # b # seperti yang dibahagi oleh #3^2#. Tetapi #b <5 #, dan tiada nilai untuknya # b # kerja-kerja.

Ini menyimpulkan setiap kes, dan dengan itu, menambahkannya, kita dapat, seperti yang disimpulkan dalam soalan itu, #17# nilai-nilai. Walau bagaimanapun, kaedah ini boleh diperluaskan dengan nilai yang lebih besar. Sebagai contoh, jika kita mahu pergi #10# kepada #1000#, kita akan menyekat # 1 <= b <100 #. Kemudian, melihat # a = 6 #, katakan, kita akan ada #2# membahagi #10# maka dengan itu #6# membahagi # 10b # jika dan hanya jika #3# membahagi # b #. Disana ada #33# gandaan #3# dalam lingkungan untuk # b #, maka dengan itu #33# nombor yang berakhir #6# dan boleh dibahagi oleh #6# antara #10# dan #1000#.

Dalam yang lebih pendek, lebih mudah untuk mengira notasi, menggunakan pemerhatian di atas, kita boleh menulis bilangan integer antara #10# dan # 10k # sebagai

#sum_ (n = 1) ^ 9 fl (k / (n / gcd (n, 10))) = sum_ (n = 1) ^ 9 fl ((k * gcd (n, 10)) / n)

di mana #fl (x) # mewakili fungsi lantai, pemetaan # x # kepada integer terbesar yang kurang daripada atau sama dengan # x #.