Apakah extrema setempat f (x) = xlnx-xe ^ x?

Jawapan:

Fungsi ini tidak mempunyai ekstrem tempatan.

Penjelasan:

#f (x) = xlnx-xe ^ x menyiratkan #

#g (x) equiv f ^ '(x) = 1 + lnx - (x + 1) e ^ x #

Untuk # x # menjadi pelantar tempatan, #g (x) # mesti sifar. Kami sekarang akan menunjukkan bahawa ini tidak berlaku untuk apa-apa nilai sebenar # x #.

Perhatikan bahawa

(x) = 1 / x- (x + 2) e ^ x, qquad g ^ {''} (x) = -1 / x ^

Oleh itu #g ^ '(x) # akan hilang jika

# e ^ x = 1 / (x (x + 2)) #

Ini adalah persamaan transendental yang boleh diselesaikan secara berangka. Sejak #g ^ '(0) = + oo # dan #g ^ '(1) = 1-3e <0 #, akar terletak di antara 0 dan 1. Dan sejak itu #g ^ {''} (0) <0 # untuk semua yang positif # x #, ini adalah satu-satunya akar dan ia sepadan dengan maksimum untuk #g (x) #

Ia agak mudah untuk menyelesaikan persamaan secara numerik, dan ini menunjukkan bahawa #g (x) # mempunyai a maksimum pada # x = 0.3152 # dan nilai maksimum ialah #g (0.3152) = -1.957 #. Oleh kerana nilai maksimum #g (x) # adalah negatif, tidak ada nilai # x # di mana #g (x) # hilang.

Ia mungkin menjadi teliti untuk melihat ini secara grafik:

graf {x log (x) -x e ^ x -0.105, 1, -1.175, 0.075}

Seperti yang anda lihat dari graf di atas, fungsi itu #f (x) # sebenarnya mempunyai maksimum pada # x = 0 # - tetapi ini bukan maksimum tempatan. Grafik di bawah menunjukkan bahawa #g (x) equiv f ^ '(x) # tidak pernah mengambil nilai sifar.

graf {1 + log (x) - (x + 1) * e ^ x -0.105, 1, -3, 0.075}