Menilai integral yang tidak pasti: sqrt (10x-x ^ 2) dx?

Jawapan:

# 20 / 3x ^ (3/2) -1 / 2x ^ 2 + c #

Penjelasan:

#int "" sqrt (10x-x ^ 2) "" dx #

Lengkapkan persegi, #int "" sqrt (25- (x-5) ^ 2) "" dx #

Pengganti # u = x-5 #, #int "" sqrt (25-u ^ 2) "" du #

Pengganti # u = 5sin (v) # dan # du = 5cos (v) #

#int "" 5cos (v) sqrt (25-25sin ^ 2 (v)) "" dv #

Mudahkan, #int "" (5cos (v)) (5cos (v)) "" dv #

Sempurna, #int "" 25cos ^ 2 (v) "" dv #

Ambil pemalar, # 25int "" cos ^ 2 (v) "" dv #

Gunakan formula double angle, # 25int "" (1 + cos (2v)) / 2 "" dv #

Ambil pemalar, # 25 / 2int "" 1 + cos (2v) "" dv #

Mengintegrasikan, # 25/2 (v + 1 / 2sin (2v)) "+ c #

Gantikan semula # v = arcsin (u / 5) # dan # u = x-5 #

# 25/2 (arcsin ((x-5) / 5) + batal (1 / 2sin) (batalkan (2arcsin) ((x-5) / 5)

Mudahkan, # 25/2 (arcsin ((x-5) / 5)) + 25/2 ((x-5) / 5) + c #

Sempurna, # 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) +5/2 (x-5) + c #, di mana # c # adalah penggabungan yang berterusan.

Tadaa: D

Jawapan:

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #

Penjelasan:

Apa itu #int sqrt (10x - x ^ 2) dx # ?

Perhatikan bahawa domain fungsi yang diintegrasikan adalah di mana kuadrat dalaman adalah positif, iaitu. #x dalam 0, 10 #

Ungkapan ini boleh diintegrasikan menggunakan penggantian. Walaupun laluan yang mungkin untuk penyepaduan tidak hadir dengan segera, jika kita bersaing dengan persegi, maka penggantian trigonometri boleh dilakukan:

# 10x - x ^ 2 = 25 - (x-5) ^ 2 #

Yang, kita perhatikan, adalah dalam bentuk penggantian trigonometri klasik, iaitu kuadrat nombor yang menolak kuadrat linier # x # fungsi.

Pertama, untuk menghilangkan linier, kami membiarkan #u = x-5 #, yang memberikan # du = dx #, jadi kami boleh menulis semula integral di atas sebagai:

#int sqrt (25-u ^ 2) du #

Sekarang untuk penggantian kedua, mari #u = 5sintheta #, yang mengubah integral kepada:

#int sqrt (25 - 25sin ^ 2theta) dx #

# = int abs (5costheta) dx # (kita boleh mengabaikan kurungan nilai mutlak)

Sudah tentu, # dx # tidak membantu, jadi kami membezakan persamaan penggantian untuk mendapatkan: #du = 5costheta d theta #, jadi integral menjadi:

# 25 int kos ^ 2 theta d theta #

Sekarang kita boleh menggunakan formula double angle untuk membuat pengintegrasian # cos ^ 2 theta # lebih mudah:

#cos (2 theta) = 2cos ^ 2theta -1 #

#:. cos ^ 2theta = 1/2 (cos (2theta) +1) #

Jadi integral menjadi:

# 25/2 int cos (2theta) + 1 d theta #

# = 25/2 (1 / 2sin (2 theta) + theta) + c #

# = 25/2 (sinthetasheta + theta) + c # (menggunakan formula dua sudut)

Sekarang, #sintheta = u / 5 = (x-5) / 5 #

Oleh itu, #cos theta = sqrt (1-u ^ 2/25) = sqrt ((- x ^ 2 + 10x-20) / 25) #

Dan, #theta = arcsin (u / 5) = arcsin ((x-5) / 5) #

#int sqrt (10x - x ^ 2) dx #

# = 25/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-20x + 20))) / 25 + arcsin ((x-5) / 5)

# = 1/2 ((x-5) sqrt (-5 (x ^ 2-10x + 20))) + 25 / 2arcsin ((x-5) / 5) + c #