Buktikan bahawa kawasan teduh ungu itu bersamaan dengan kawasan lingkaran segitiga sama-sama (lingkaran bergaris kuning)?

Jawapan:

Penjelasan:

Kawasan sampingan adalah # pir ^ 2 #.

Memperhatikan segi tiga tepat dengan hipotenus # R # dan kaki # r # di dasar segitiga sama sisi, melalui trigonometri atau sifat-sifat #30 -60 -90 # segi tiga yang betul kita dapat mewujudkan hubungan itu # R = 2r #.

Perhatikan bahawa sudut bertentangan # r # adalah #30 # sejak segitiga sama sisi sama #60 # sudut adalah bisected.

Segitiga yang sama boleh diselesaikan melalui teorem Pythagorean untuk menunjukkan bahawa separuh panjang sampingan segitiga sama sisi ialah #sqrt (R ^ 2-r ^ 2) = sqrt (4r ^ 2-r ^ 2) = rsqrt3 #.

Sekarang memeriksa separuh segitiga sama sisi sebagai segi tiga tepat, kita melihat ketinggian itu # h # daripada segitiga sama sisi dapat diselesaikan untuk dari segi # r # menggunakan hubungan itu #tan (60) = h / (rsqrt3) #. Sejak #tan (60) = sqrt3 #, ini menjadi # h / (rsqrt3) = sqrt3 # jadi # h = 3r #.

Kawasan segi tiga sama ada pada masa itu # 1 / 2bh #, dan pangkalannya adalah # 2rsqrt3 # dan ketinggiannya # 3r #. Oleh itu, kawasannya adalah # 1/2 (2rsqrt3) (3r) = 3r ^ 2sqrt3 #.

Kawasan kawasan teduh yang lebih kecil adalah sama dengan satu pertiga kawasan segitiga sama sisi yang kurang dari incircle, atau # 1/3 (3r ^ 2sqrt3-pir ^ 2) # yang bersamaan dengan # r ^ 2 ((3sqrt3-pi) / 3) #.

Kawasan bulatan yang lebih besar adalah # piR ^ 2 = pi (2r) ^ 2 = 4pir ^ 2 #.

Kawasan kawasan berbayang yang lebih besar adalah satu pertiga kawasan bulatan yang lebih besar dikurangi kawasan segitiga sama sisi, atau # 1/3 (4pir ^ 2-3r ^ 2sqrt3) # yang memudahkan # r ^ 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) #.

Kawasan keseluruhan kawasan teduh kemudiannya 3 r = 2 ((4pi-3sqrt3) / 3) = r ^ 2 ((3sqrt3-3sqrt3-pi + 4pi) / 3) = r ^ 2 ((3pi) / 3) = pir ^ 2 #, yang bersamaan dengan kawasan incircle.

Jawapan:

Penjelasan:

Untuk segitiga sama sisi pusat graviti, pusat lingkaran dan ortocenter bertepatan.

Jadi Radius cicumcircle (R) dan radius incircle (r) akan mempunyai hubungan berikut

#R: r = 2: 1 => R = 2r #

Sekarang dari segi itu jelas sekali kawasan wilayah BAYAR berwarna gelap# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) #

Dan kawasan kawasan gelap teduh SMALL# = 1/3 (Delta-pir ^ 2) #

di mana #Delta # mewakili kawasan segitiga sama sisi.

Jadi

#color (ungu) ("JUMLAH kawasan rantau ungu yang BESAR dan KECIL" #

# = 1/3 (piR ^ 2-Delta) +1/3 (Delta-pir ^ 2) #

# = 1/3 (piR ^ 2-cancelDelta + cancelDelta-pir ^ 2) #

Memasukkan R = 2r

# = 1/3 (pi (2r) ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1/3 (4pir ^ 2-pir ^ 2) #

# = 1 / cancel3xxcancel3pir ^ 2 #

# = pir ^ 2-> warna (oren) "Kawasan bulatan bergaris kuning" #