Sin ^ 4x -cos ^ 4x = cos3x Bolehkah anda menyelesaikannya?

Jawapan:

# x = pi / 5 #

#x = (3pi) / 5 #

# x = pi #

Penjelasan:

Kami ada:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x- cos ^ 2x) = cos (3x) #

# 1 (sin ^ 2x - cos ^ 2x) = cos (3x) #

# -cos (2x) = cos (3x) #

# 0 = cos (3x) + cos (2x) #

# 0 = cos (2x) cos (x) - sin (2x) sinx + cos (2x) #

# 0 = (2cos ^ 2x -1) cosx- 2sinxcosxsinx + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x - cosx - 2sin ^ 2xcosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (1- cos ^ 2x) cosx + 2cos ^ 2x - 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx - 2 (cosx - cos ^ 3x) + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 2cos ^ 3x- cosx- 2cosx + 2cos ^ 3x + 2cos ^ 2x- 1 #

# 0 = 4cos ^ 3x + 2cos ^ 2x - 3cosx -1 #

Biarkan #u = cosx #.

# 0 = 4u ^ 3 + 2u ^ 2 - 3u - 1 #

Kita lihat itu #u = -1 # adalah faktor. Menggunakan bahagian sintetik yang kami dapat

# 0 = (x + 1) (4x ^ 2 - 2x - 1) #

Persamaan # 4x ^ 2 - 2x - 1 = 0 # boleh diselesaikan menggunakan formula kuadratik.

#x = (2 + - sqrt (2 ^ 2 - 4 * 4 * -1)) / (2 * 4) #

#x = (2 + - sqrt (20)) / 8 #

#x = (1 + - sqrt (5)) / 4 #

#x ~~ 0.809 atau -0.309 #

Sejak #cosx = u #, kita mendapatkan #x = pi / 5, (3pi) / 5 # dan # pi #.

Di mana # n # adalah integer.

Grafik # y_1 = sin ^ 4x- cos ^ 4x # dan # y_2 = cos (3x) # mengesahkan bahawa penyelesaiannya adalah titik persilangan.

Semoga ini membantu!

Jawapan:

#x = (2k + 1) pi #

#x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Penjelasan:

# sin ^ 4x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# 1 (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #, atau

#cos 3x = - cos 2x = cos (2x + pi) #

Lingkaran unit, dan harta kos, berikan ->

# 3x = + - (2x + pi) + 2kpi #

a. # 3x = 2x + pi + 2kpi #

#x = (2k + 1) pi #

Jika k = 0 -> #x = pi #

b. # 3x = - 2x - pi + 2kpi #

# 5x = (2k - 1) pi #, #x = ((2k - 1) pi) / 5 #

Sekiranya k = 1 -> #x = pi / 5 #.

Jika k = 0 -> #x = - pi / 5 #, atau #x = (9pi) / 5 # (terminal bersama)

Jika k = 2 -> #x = (3pi) / 5 #

Dalam selang tertutup 0, 2pi, jawapannya ialah:

# 0, (pi) / 5, (3pi) / 5, pi, (9pi) / 5 #

Semak oleh kalkulator.

#x = pi / 5 = 36 ^ @ # --> # sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = - 0.428 # -> cos 3x = - 309.

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = 0.119 - 0.428 = - 309 #. Dibuktikan

#x = (9pi) / 5 # --># sin ^ 4 x = 0.119 # --> # cos ^ 4 x = 0.428 # -->

# sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = - 0.309 #

#cos 3x = cos 972 = - 0.309 #. Dibuktikan

Jawapan:

# rarrx = (2n + 1) pi / 5, (2n + 1) pi # # nrarrZ #

Penjelasan:

# rarrsin ^ 4x-cos ^ 4x = cos3x #

#rarr (sin ^ 2x + cos ^ 2x) (sin ^ 2x-cos ^ 2x) = cos3x #

# rarr-cos2x = cos3x #

# rarrcos3x + cos2x = 0 #

# rarr2cos ((3x + 2x) / 2)) * cos ((3x-2x) / 2)) = 0 #

#rarrcos ((5x) / 2) * cos (x / 2) = 0 #

Sama ada #cos ((5x) / 2) = 0 #

#rar (5x) / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi / 5 # # nrarrZ #

#rarrcos (x / 2) = 0 #

# rarrx / 2 = (2n + 1) pi / 2 #

# rarrx = (2n + 1) pi # # nrarr #

Jawapan:

Penyelesaian umum tidak memerlukan rumus sudut triple, dan adalah

# x = 180 ^ pusingan + 360 ^ pusingan k # atau # x = 36 ^ pusingan + 72 ^ pusingan k #

untuk integer # k #.

Penjelasan:

Saya tidak suka membaca jawapan orang lain sebelum saya menyelesaikan soalan saya sendiri. Tetapi jawapan yang dipaparkan untuk satu ini muncul. Sepanjang pandangan saya, saya tidak dapat melihatnya kelihatan rumit untuk apa yang kelihatan kepada saya seperti soalan yang agak mudah. Saya akan memberikannya satu pukulan.

#sin ^ 4 x - cos ^ 4 x = cos 3x #

# (sin ^ 2 x + cos ^ 2 x) (sin ^ 2 x - cos ^ 2 x) = cos 3x #

# -cos 2x = cos 3x #

#cos (180 ^ circ - 2x) = cos 3x #

Saya pernah ke Socratic selama beberapa minggu, dan ini muncul sebagai tema saya: Penyelesaian umum untuk #cos x = cos a # adalah #x = pm a + 360 ^ circ qu k quad # untuk integer # k. #

# 180 ^ circ - 2x = pm 3x + 360 ^ circ k #

# -2x pm 3x = -180 ^ pusingan + 360 ^ pusingan k #

Kami mengambil tanda-tanda secara berasingan. Plus pertama:

# x = -180 ^ pusingan + 360 ^ pusingan k = 180 ^ pusingan + 360 ^ pusingan k #

Minus seterusnya.

# -5x = -180 ^ pusingan + 360 ^ pusingan k #

# x = 36 ^ pusingan + 72 ^ pusingan k #

Jika anda membaca dengan teliti ini, anda mungkin menganggap saya melakukan kesilapan dengan cara saya memanipulasi # k #. Tetapi sejak itu # k # merangkumi semua bilangan bulat, penggantian seperti #k ke -k # dan #k ke k + 1 # dibenarkan dan saya tergelincir untuk memastikan tanda-tanda tersebut #+# apabila mereka boleh.

Semak:

Mari pilih pasangan untuk semak. Saya geeky cukup tahu #cos 36 ^ circ # adalah separuh daripada Nisbah Emas, tetapi saya tidak akan berfungsi dengan betul, hanya pop mereka ke Wolfram Alpha untuk memastikan.

# x = 36 ^ circ + 72 ^ circ = 108 ^ circ #

# sin ^ 4 108 - cos ^ 4 108 - cos (3 * 108) = 0 quad sqrt #

# x = 180 - 2 (360) = -540 #

#sin ^ 4 (-540) - cos ^ 4 (-540) - cos (3 * -540) = 0 quad sqrt #