Apakah perbezaan antara antiderivatif dan integral?

Tidak ada perbezaan, kedua-dua perkataan itu sinonim.

Ia bergantung pada beberapa perkara. Yang antiderivatif, umum atau tertentu? yang integral pasti atau tidak pasti? Dan siapa yang kita tanya?

Integriti Antiderivatif Am dan Tak Terbatas:

Ramai ahli matematik tidak membezakan integral yang tidak pasti dan antiderivatif am. Dalam kedua-dua kes untuk fungsi # f # jawapannya ialah #F (x) + C # di mana #F '(x) = f (x) #..

Beberapa (contohnya penulis buku teks James Stewart) membuat perbezaan. Apa yang disebut Stewart sebagai antiderivatif "yang paling umum" # f #, mengakui pemalar yang berbeza pada setiap kecenderungan # f #. Contohnya, dia akan menjawab bahawa antiderivatif yang paling umum # 1 / x ^ 2 # adalah fungsi didefinisikan piecewise:

#F (x) = (- 1) / x + C_1 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + C_2 # untuk #x> 0 #.

Integral tidak terhad daripada # f #, dalam rawatan ini, sentiasa menjadi anterivatif pada beberapa selang masa # f # berterusan.

Jadi #int 1 / x ^ 2 dx = -1 / x + C #, di mana difahami bahawa domain itu terhad kepada beberapa subset sama ada reals positif atau subset daripada reals negatif.

Antidivatif Tertentu

Antidivatif tertentu # f # adalah fungsi # F # (bukan keluarga fungsi) yang mana #F '(x) = f (x) #.

Sebagai contoh:

#F (x) = (- 1) / x + 5 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + 1 # untuk #x> 0 #.

adalah antidervatif tertentu #f (x) = 1 / x ^ 2 #

Dan:

#G (x) = (- 1) / x-3 # untuk #x <0 # dan # (- 1) / x + 6 # untuk #x> 0 #.

adalah antidervatif khusus yang berbeza #f (x) = 1 / x ^ 2 #.

Integral pasti

Integral pasti dari # f # dari # a # kepada # b # bukan fungsi. Ia adalah nombor.

Sebagai contoh:

# int_1 ^ 3 1 / x ^ 2 dx = 2/3 #.

(Untuk mengukuhkan lagi perkara-perkara, integral pasti ini boleh didapati dengan menggunakan Teorema Asas Kalkulus, Bahagian 2, dengan mencari / pertama antiderivatif integral / amalan pertama, kemudian melakukan somearithmetic.)

Soalan anda adalah berkaitan dengan apa yang sebenarnya "wawasan utama" dalam perkembangan kalkulus oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz.

Memfokuskan pada fungsi yang tidak pernah negatif, wawasan ini boleh dibahagikan sebagai: "Antidivatif boleh digunakan untuk cari kawasan (integral) dan kawasan (integral) boleh digunakan untuk mentakrifkan antidumping ". Ini adalah intipati Teorem Asas Kalkulus.

Tanpa bimbang tentang jumlah Riemann (selepas semua, Bernhard Riemann hidup hampir 200 tahun selepas Newton dan Leibniz anyway) dan mengambil tanggapan kawasan sebagai konsep intuitif (tidak jelas), untuk fungsi yang tidak negatif berterusan #f (x) geq 0 # untuk semua # x # dengan #a leq x leq b #, hanya fikirkan simbol integral yang pasti # int_ {a} ^ {b} f (x) dx # sebagai mewakili kawasan di bawah graf # f # dan di atas # x #- antara # x = a # dan # x = b #. Jika ada fungsi lain # F # boleh didapati begitu #F '(x) = f (x) # untuk semua #a leq x leq b #, kemudian # F # dipanggil antiderivatif # f # sepanjang selang waktu # a, b # dan perbezaannya #F (b) -F (a) # sama dengan nilai integral pasti. Itu dia, # int_ {a} ^ {b} f (x) dx = F (b) -F (a) #. Fakta ini berguna untuk mencari nilai yang penting (kawasan) pasti apabila formula untuk antiderivatif dapat dijumpai.

Sebaliknya, jika kita membuat had atas simbol integral pemboleh ubah, hubunginya # t #, dan menentukan fungsi # F # oleh formula #F (t) = int_ {a} ^ {t} f (x) dx # (jadi #F (t) # adalah benar-benar kawasan di bawah graf # f # antara # x = a # dan # x = t #, dengan anggapan #a leq t leq b #), maka fungsi baru ini # F # adalah jelas, berbeza, dan #F '(t) = f (t) # untuk semua nombor # t # antara # a # dan # b #. Kami telah menggunakan integral untuk mentakrifkan satu antiderivatif # f #. Fakta ini berguna untuk menghampiri nilai-nilai antiderivatif apabila tiada formula untuknya dapat dijumpai (menggunakan kaedah integrasi berangka seperti aturan Simpson). Sebagai contoh, ia digunakan sepanjang masa oleh ahli statistik apabila menghampiri kawasan di bawah lengkung Normal. Nilai-nilai antiderivatif khas lengkung Normal standard sering diberikan dalam jadual dalam buku statistik.

Dalam kes di mana # f # mempunyai nilai negatif, integral pasti harus dipikirkan dari segi "kawasan yang ditandatangani".