Bagaimana anda mengintegrasikannya? dx (x²-x + 1) Saya terjebak pada bahagian ini (imej yang dimuat naik)

Jawapan:

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Penjelasan:

Meneruskan…

Biarkan # 3/4 u ^ 2 = (x-1/2) ^ 2 #

# => sqrt (3) / 2 u = x-1/2 #

# => sqrt (3) / 2 du = dx #

# => int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) * sqrt (3) / 2 du #

# => sqrt3 / 2 int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du #

# => (2sqrt3) / 3 int 1 / (u ^ 2 + 1) du #

Menggunakan antiderivatif apa yang perlu komited untuk ingatan …

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) u + c #

# => u = (2x-1) / sqrt3 #

# => (2sqrt3) / 3 tan ^ (- 1) ((2x-1) / sqrt3) + c #

Ini adalah integral sedikit rumit, dan penyelesaiannya tidak kelihatan jelas pada mulanya. Oleh kerana ini adalah pecahan, kita mungkin cuba mempertimbangkan menggunakan teknik pecahan parsial, tetapi analisis cepat menunjukkan bahawa ini tidak mungkin kerana # x ^ 2-x + 1 # tidak faktorable.

Kami akan cuba untuk mendapatkan integral ini dalam bentuk yang sebenarnya boleh diintegrasikan. Perhatikan persamaan antara # int1 / (x ^ 2-x + 1) dx # dan # int1 / (x ^ 2 + 1) dx #; kita tahu bahawa integral kedua mengevaluasi # arctanx + C #. Oleh itu, kami akan cuba mendapatkannya # x ^ 2-x + 1 # dalam bentuk #k (x-a) ^ 2 + 1 #, dan kemudian memohon # arctanx # peraturan.

Kita perlu melengkapkan persegi itu # x ^ 2-x + 1 #:

# x ^ 2-x + 1 #

# = x ^ 2-x + 1/4 + 1-1 / 4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + 3/4 #

# = (x-1/2) ^ 2 + (sqrt (3) / 2) ^ 2 #

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 ((x-1/2) ^ 2 / (sqrt (3) / 2) ^ 2 + 1)

# = (sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1)

(sangat teruk, saya tahu)

Sekarang bahawa kami memilikinya dalam bentuk yang kami inginkan, kami boleh meneruskannya seperti berikut:

# int1 / (x ^ 2-x + 1) dx = int1 / ((sqrt (3) / 2) ^ 2 (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2))) dx #

# = 4 / 3int1 / (((x-1/2) / (sqrt (3) / 2)) ^ 2 + 1) dx #

# = 4 / 3int1 / (((2x-1) / (sqrt (3))) ^ 2 + 1) dx #

# = 4/3 * (sqrt (3) / 2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) + C #

# = (2arctan ((2x-1) / sqrt (3))) / sqrt (3) + C #