Telah diketahui bahawa persamaan bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 mempunyai satu akar sebenar. Buktikan bahawa persamaan x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tidak mempunyai akar sebenar.?

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Akar untuk # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # adalah

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Akar akan menjadi kebetulan dan nyata jika

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

atau

# a = b # atau #a = 5b #

Sekarang selesaikan

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # kita ada

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Keadaan untuk akar kompleks adalah

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

sekarang buat #a = b # atau #a = 5b # kita ada

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Kesimpulannya, jika # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # mempunyai kebetulan sejajar kemudian # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # akan mempunyai akar kompleks.

Kami diberi persamaan:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

mempunyai satu punca sebenar, maka diskriminasi persamaan ini adalah sifar:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, atau # a = 5b #

Kami berusaha untuk menunjukkan persamaan ini:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

tidak mempunyai akar sebenar. Ini memerlukan diskriminasi negatif. Diskriminasi untuk persamaan ini ialah:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

# = a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

# = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Dan sekarang mari kita pertimbangkan dua kes yang mungkin yang memenuhi persamaan pertama:

Kes 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

# = b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Kes 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

# = (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

# = 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# lt 0 #

Oleh itu, persamaan-persamaan pertama sedemikian rupa sehingga persamaan kedua sentiasa mempunyai diskriminasi negatif, dan oleh itu mempunyai akar kompleks (iaitu tidak ada akar sebenar), QED