Apakah integral int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Jawapan:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Penjelasan:

Masalah besar kami dalam integral ini adalah akar, jadi kami ingin menyingkirkannya. Kita boleh melakukan ini dengan memperkenalkan penggantian # u = sqrt (2x-1) #. Derivatif itu kemudiannya

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Oleh itu, kita membahagikan (dan ingat, pembahagian oleh timbal balik adalah sama seperti mendarab dengan hanya penyebut) untuk menyatukan berkenaan dengan # u #:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancel (sqrt (2x-1)) cancel (sqrt (2x-1) = int x ^ 2-1 du #

Kini semua yang perlu kita lakukan ialah menyatakan # x ^ 2 # dari segi # u # (kerana anda tidak dapat menyatukan # x # berkenaan dengan # u #):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Kami boleh memasangkan semula ini menjadi penting untuk mendapatkan:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Ini boleh dinilai menggunakan peraturan kuasa terbalik:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Menyusun semula untuk # u = sqrt (2x-1) #, kita mendapatkan:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1)