Bagaimana anda menukar r = 1 / (4 - costheta) ke dalam bentuk kartesian?

Jawapan:

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Penjelasan:

Hei, Socratic: Adakah ia benar-benar perlu untuk memberitahu kami ini ditanya 9 minit yang lalu? Saya tidak suka berbohong. Beritahu kami ia telah ditanya dua tahun lalu dan tiada siapa yang dapat melakukannya lagi. Juga apa yang ditanya dengan soalan yang diajukan secara identik yang ditanya dari pelbagai tempat? Belum lagi Santa Cruz, Amerika Syarikat? Terdapat hampir pasti lebih daripada satu, walaupun saya mendengar yang di California dengan baik. Kredibiliti dan reputasi adalah penting, terutamanya di tapak kerja rumah. Jangan mengelirukan orang. Ranting akhir.

Apabila menukar persamaan dari kutub ke segi empat tepat koordinat kuasa segi empat tepat kepada penggantian kutub

#r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

#theta = text {arctan2} (y "/," x) quad #

jarang pendekatan yang terbaik. (Saya dengan sengaja menunjukkan empat kuadran terbalik kuadran di sini, tetapi jangan dialihkan.)

Sebaik-baiknya kita mahu menggunakan kutub untuk penggantian segi empat tepat, #x = r cos theta #

# y = r sin theta #

# x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 cos ^ 2 theta + r ^ 2 sin ^ 2 theta = r ^ 2 #

OK mari lihat soalan itu.

# r = 1 / {4 - cos theta} #

Persamaan kutub umumnya membolehkan negatif # r #, tetapi di sini kita pasti # r # sentiasa positif.

#r (4 - cos theta) = 1 #

Ini saya fikir adalah elips, yang tidak begitu penting, tetapi memberi kita beberapa idea apa yang kita harap bentuk segi empat tepat kelihatan. Kami mahu menunjuk sesuatu tanpa akar atau arktang persegi # r = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} # mempunyai akar persegi, tetapi #rcos theta = x # tidak, jadi kita terus berkembang.

# 4r - rcos theta = 1 #

Sekarang kita hanya mengganti; kami akan melakukannya dalam langkah-langkah.

# 4r -x = 1 #

# 4r = x + 1 #

Mari kita persegi sekarang. Kami tahu #r> 0. #

# 16 r ^ 2 = (x + 1) ^ 2 #

# 16 (x ^ 2 + y ^ 2) = (x + 1) ^ 2 = x ^ 2 + 2x + 1 #

# 15 x ^ 2 - 2 x + 16 y ^ 2 = 1 #

Ini adalah elips yang cantik melingkar. (Pemalar yang lebih kecil daripada #4# pada asalnya akan memberikan elips yang lebih eksentrik.) Kita boleh menyelesaikan persegi untuk meletakkannya dalam bentuk standard, tetapi mari meninggalkannya di sini.