Apakah penyelesaian untuk (z-1) ^ 3 = 8i?

Jawapan:

#z dalam {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #

Penjelasan:

Untuk masalah ini, kita perlu tahu bagaimana untuk mencari # n ^ "th" # akar nombor kompleks. Untuk melakukan ini, kami akan menggunakan identiti itu

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Kerana identiti ini, kita boleh mewakili mana-mana nombor kompleks sebagai

# a + bi = Re ^ (itheta) # di mana #R = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # dan #theta = arctan (b / a) #

Sekarang kita akan pergi ke langkah-langkah untuk mencari # 3 ^ "rd" # akar nombor kompleks # a + bi #. Langkah-langkah untuk mencari # n ^ "th" # akarnya sama.

Diberikan # a + bi = Re ^ (itheta) # kami sedang mencari semua nombor kompleks # z # seperti itu

# z ^ 3 = Re ^ (itheta) #

Sebagai # z # adalah nombor kompleks, wujud # R_0 # dan # theta_0 # seperti itu

#z = R_0e ^ (itheta_0) #

Kemudian

# z ^ 3 = (R_0e ^ (itheta_0)) ^ 3 = R_0 ^ 3e ^ (3itheta_0) = Re ^ (itheta) #

Dari sini, kita segera ada # R_0 = R ^ (1/3) #. Kami juga boleh menyamakan eksponen # e #, tetapi memandangkan bahawa sinus dan kosinus berkala dengan tempoh # 2pi #, maka dari identiti asal, # e ^ (itheta) # akan juga. Kemudian kita ada

# 3itheta_0 = i (theta + 2pik) # di mana #k dalam ZZ #

# => theta_0 = (theta + 2pik) / 3 # di mana #k dalam ZZ #

Bagaimanapun, seolah-olah kita terus menambah # 2pi # berulang kali, kita akan berakhir dengan nilai yang sama, kita boleh mengabaikan nilai yang berlebihan dengan menambah sekatan # theta_0 dalam 0, 2pi) #, itu dia, #k dalam {0, 1, 2} #

Meletakkannya bersama-sama, kita mendapat set penyelesaian

#z dalam {R ^ (1/3) e ^ (itheta / 3), R ^ (1/3) e ^ (i ((theta + 2pi)) / 3), R ^ (1/3) (i (theta + 4pi) / 3)} #

Kami boleh menukar kembali ini kepada # a + bi # jika dikehendaki menggunakan identiti

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

Memohon di atas kepada masalah yang dihadapi:

# (z-1) ^ 3 = 8i #

# => z-1 = 2i ^ (1/3) #

# => z = 2i ^ (1/3) + 1 #

Menggunakan proses di atas, kita dapat mencari # 3 ^ "rd" # akar dari # i #:

= i ^ (1/3) dalam {e ^ (ipi / 6), e ^ (i (5pi) / 6), e ^ (i (3pi) / 2) } #

Memohon # e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) # kita ada

# i ^ (1/3) dalam {sqrt (3) / 2 + i / 2, -sqrt (3) / 2 + i / 2, -i} #

Akhirnya, kami menggantikan nilai-nilai ini untuk #z = 2i ^ (1/3) + 1 #

#z dalam {2 (sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-sqrt (3) / 2 + i / 2) +1, 2 (-i) +1}

# = {sqrt (3) + 1 + i, -sqrt (3) + 1 + i, 1-2i} #