Bagaimana anda mengintegrasikan int 3 * (csc (t)) ^ 2 / cot (t) dt?

Jawapan:

Gunakan a # u #-pemulihan untuk mendapatkan # -3lnabs (cot (t)) + C #.

Penjelasan:

Pertama, ambil perhatian bahawa kerana #3# adalah pemalar, kita boleh menariknya daripada integral untuk memudahkan:

# 3int (csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Kini - dan ini adalah bahagian yang paling penting - notis bahawa terbitan #cot (t) # adalah # -csc ^ 2 (t) #. Kerana kita mempunyai fungsi dan derivatif yang ada dalam integral yang sama, kita boleh memohon a # u # penggantian seperti ini:

# u = cot (t) #

# (du) / dt = -csc ^ 2 (t) #

# du = -csc ^ 2 (t) dt #

Kita boleh menukar positif # csc ^ 2 (t) # kepada yang negatif seperti ini:

# -3int (-csc ^ 2 (t)) / cot (t) dt #

Dan gunakan penggantian:

# -3int (du) / u #

Kami tahu itu #int (du) / u = lnabs (u) + C #, jadi menilai integral dilakukan. Kami hanya perlu membalikkan pengganti (meletakkan jawapan kembali dari segi # t #) dan lampirkan itu #-3# untuk hasilnya. Sejak # u = cot (t) #, kita boleh kata:

# -3 (lnabs (u) + C) = - 3lnabs (cot (t)) + C #

Dan itu sahaja.

Jawapan:

# 3ln | csc 2t -cot 2t | + const. = 3ln | tan t | + const. #

Penjelasan:

# 3 int csc ^ 2 t / cot t dt = #

# = 3 int (1 / sin ^ 2 t) * (1 / (cos t / sin t)) dt #

# = 3 int dt / (sin t * cos t) #

Ingat itu

#sin 2t = 2sint * cost #

Jadi

# = 3int dt / ((1/2) sin 2t) #

# = 6int csc 2t * dt #

Seperti yang dapat kita dapati dalam jadual integral

(misalnya Jadual integral yang mengandungi Csc (kapak) dalam Matematik SOS):

#int csc ax * dx = 1 / aln | cscax-cotax | = ln | tan ((ax) / 2) | #

kami mendapat hasil ini

# = 3ln | csc2t-cot2t | + const = 3ln | tan t | + const #