Jawapan:
# y = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)
Penjelasan:
Kami ada:
# y '' '- y' '+ 44y'-4 = 0 #
Atau, Sebagai alternatif:
# y '' '- y' '+ 4y' = 4 # ….. A
Ini adalah ketiga Persamaan Pembezaan bukan homogen linear dengan pekali malar. Pendekatan standard adalah untuk mencari penyelesaian,
Akar persamaan bantu menentukan bahagian penyelesaian, yang jika linear bebas, maka superposisi penyelesaian membentuk penyelesaian umum penuh.
- Akar yang berbeza nyata
# m = alpha, beta, … # akan menghasilkan penyelesaian bebas secara linear secara bebas# y_1 = Ae ^ (alphax) # ,# y_2 = Be ^ (betax) # , … - Akar berulang nyata
# m = alpha # , akan menghasilkan penyelesaian bentuknya# y = (Ax + B) e ^ (alphax) # di mana polinomial mempunyai tahap yang sama seperti ulangan. - Akar kompleks (yang mesti berlaku sebagai pasangan konjugasi)
# m = p + -qi # akan menghasilkan penyelesaian pasangan secara bebas daripada garis lurus# y = e ^ (px) (Acos (qx) + Bsin (qx)) #
Penyelesaian Khusus
Untuk mencari penyelesaian tertentu persamaan bukan homogen:
# y '' '- y' '+ 4y' = f (x) # dengan#f (x) = 4 # ….. C
kemudian sebagai
Walau bagaimanapun, penyelesaian sedemikian sudah wujud dalam penyelesaian CF dan oleh itu harus mempertimbangkan penyelesaian yang berpotensi dalam bentuk
Membezakan
# y '= a #
# y '' = 0 #
# y '' '= 0 #
Menggantikan keputusan ini ke dalam DE A yang kami dapat:
# 0-0 + 4a = 4 => a = 1 #
Dan jadi kami membentuk penyelesaian khusus:
# y_p = x #
Penyelesaian Am
Yang kemudiannya membawa kepada GS A}
# y (x) = y_c + y_p #
# = A + e ^ (1 / 2x) {Bcos (sqrt (15) / 2x) + Csin (sqrt (15) / 2x)
Perhatikan penyelesaian ini