Apakah semua nilai untuk k yang mana int_2 ^ kx ^ 5dx = 0?

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

# int_2 ^ kx ^ 5 dx = 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) #

dan

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k ^ 3 + 2 ^ 3) (k ^ 3-2 ^ 3) # tetapi

# k ^ 3 + 2 ^ 3 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) # dan

# k ^ 3-2 ^ 3 = (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) # jadi

# k ^ 6-2 ^ 6 = (k +2) (k ^ 2-2k + 2 ^ 2) (k-2) (k ^ 2 + 2k + 2 ^ 2) #

atau

(k ^ 2 + 2 = 0),

maka akhirnya

nilai sebenar #k = {-2,2} #

nilai kompleks #k = {-1pm saya sqrt3,1pm i sqrt3} #

Jawapan:

# k = + - 2 #

Penjelasan:

Kami memerlukan:

# int_2 ^ k x ^ 5 dx = 0 #

Mengintegrasikan kami:

# x ^ 6/6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 warna (putih) ("" / "") x ^ 6 _2 ^ k = 0 #

#:. 1/6 (k ^ 6-2 ^ 6) = 0 #

#:. (k ^ 3) ^ 2- (2 ^ 3) ^ 2 = 0 #

#:. k ^ 3 = + - 2 ^ 3 #

#:. k = + - 2 #,

Dengan itu #k dalam RR # (sebenarnya ada #6# akar, #4# yang kompleksnya)

Sekarang, bergantung kepada konteks masalah, seseorang boleh membantahnya #k <2 # (iaitu # k = -2 #) adalah tidak sah #k> = 2 # untuk membuat "betul" dalaman dengan demikian tidak termasuk penyelesaian itu, tetapi tanpa sebarang konteks adalah munasabah untuk memasukkan kedua-dua penyelesaian.

Juga, ambil perhatian bahawa #k = + - 2 # boleh ditunjukkan sebagai penyelesaian tanpa sebenarnya melakukan integrasi.

Pertama, sifat integral pasti ialah:

# int_a ^ a f (x) = 0 #

jadi kita dapat segera mewujudkannya # k = 2 # adalah satu penyelesaian.

Kedua, # x ^ 5 # adalah ganjil fungsi, dan fungsi ganjil memenuhi:

# f (-x) = f (x) #

dan mempunyai simetri putaran mengenai asal usul. oleh itu, jika #f (x) # adalah ganjil kemudian:

# int_ (a) ^ a f (x) = 0 #

jadi kita dapat segera mewujudkannya # k = -2 # adalah satu penyelesaian.

Gabungan dan pengiraan seterusnya bagaimanapun membuktikan bahawa ini adalah satu-satunya penyelesaian!