Bagaimana anda menggunakan Ujian Integral untuk menentukan penumpuan atau penyelewengan siri: jumlah n e ^ -n dari n = 1 hingga tak terhingga?

Jawapan:

Ambil integral # int_1 ^ ooxe ^ -xdx #, yang terbatas, dan ambil perhatian bahawa ia adalah batas #sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) #. Oleh itu ia adalah konvergen, jadi #sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) # juga.

Penjelasan:

Kenyataan formal ujian integral menyatakan bahawa jika #fin 0, oo) rightarrowRR # fungsi penurunan monoton yang tidak negatif. Kemudian jumlahnya #sum_ (n = 0) ^ oof (n) # adalah konvergen jika dan hanya jika # "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx # adalah terhingga. (Tau, Terence, Analisis saya, edisi kedua, buku buku Hindustan, 2009).

Kenyataan ini mungkin kelihatan sedikit teknikal, tetapi idea itu adalah yang berikut. Mengambil dalam kes ini fungsi #f (x) = xe ^ (- x) #, kami perhatikan bahawa untuk #x> 1 #, fungsi ini berkurang. Kita dapat melihat ini dengan mengambil derivatif. #f '(x) = e ^ (- x) -xe ^ (- x) = (1-x) e ^ (- x) <0 #, sejak #x> 1 #, jadi # (1-x) <0 # dan #e ^ (- x)> 0 #.

Disebabkan ini, kita perhatikan bahawa untuk apa-apa #ninNN _ (> = 2) # dan # x dalam 1, ya # seperti itu #x <= n # kita ada #f (x)> = f (n) #. Oleh itu #int_ (n-1) ^ nf (x) dx> = int_ (n-1) ^ nf (n) dx = f (n) #, jadi (n = 1) ^ nf (n) <= f (1) + sum_ (n = 2) ^ Nint_ (n-1) ^ nf (x) dx = dx #.

# x_1 ^ oof (x) dx = int_1 ^ ooxe ^ (- x) dx = -int_ (x = 1) ^ ooxde ^ (- x) = - xe ^ (- x) | _1 ^ oo + (-x) dx ## = - xe ^ (- x) -e ^ (- x) | ^ oo_1 = 2 / e # menggunakan integrasi oleh bahagian-bahagian dan itu #lim_ (xrightarrowoo) e ^ -x = lim_ (xrightarrowoo) xe ^ -x = 0 #.

Sejak #f (x)> = 0 #, kita ada # e / 2 = int_1 ^ oof (x) dx> = int_1 ^ Nf (x) dx #, jadi #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) <= f (1) + 2 / e = 3 / e #. Sejak #f (n)> = 0 #, siri ini #sum_ (n = 1) ^ Nf (n) # kenaikan sebagai # N # kenaikan. Oleh kerana ia dibatasi oleh # 3 / e #, ia mestilah berkumpul. Oleh itu #sum_ (n = 1) ^ oof (n) # menumpuk.