Soalan # 35a7e

Jawapan:

Seperti yang dinyatakan dalam ulasan di bawah, ini adalah siri MacLaurin untuk #f (x) = cos (x) #, dan kita tahu bahawa ini menyatupadukan # (- ya, ya) #. Walau bagaimanapun, jika anda mahu melihat proses:

Penjelasan:

Oleh kerana kami mempunyai faktorial dalam penyebut, kami menggunakan ujian nisbah, kerana ini memudahkan penyederhanaan. Formula ini ialah:

#lim_ (n-> oo) (a_ (n + 1) / a_n) #

Jika ini <1, siri anda menumpu

Jika ini> 1, siri anda akan berubah

Jika ini adalah = 1, ujian anda tidak dapat disimpulkan

Jadi, mari kita lakukan ini:

#lim_ (k-> oo) abs ((- 1) ^ (k + 1) (x ^ (2k + 2) / ((2k + 2)!)) * (- 1) ^ k ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Nota: Berhati-hati tentang cara anda memasangkan (k + 1) anda. 2k akan berubah menjadi 2 (k + 1), TIDAK 2k + 1.

Saya didarab dengan timbal balik # x ^ (2k) / ((2k)!) # bukannya membahagikan hanya untuk membuat kerja lebih mudah.

Sekarang, mari aljabar. Oleh kerana nilai mutlak, istilah berganti kami (iaitu. # (- 1) ^ k #) hanya akan membatalkan, kerana kami akan sentiasa mendapat jawapan positif:

(= 2k + 2) / ((2k + 2)!) * ((2k)!) / (x ^ (2k)) #

Kita boleh membatalkan kami # x ^ (2k) #'s:

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2)!)) * ((2k)!) #

Sekarang kita perlu membatalkan faktorial.

Ingatlah itu # (2k)! = (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1 #

Juga, # (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * (2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1 #

Notis:

# (2k)! = warna (merah) (2k) * (2k-1) * (2k-2) * (2k-3) * … * 3 * 2 * 1)

# (2k + 2)! = (2k + 2) * (2k + 1) * warna (merah) (2k) * (2k - 1) * …. *

Seperti yang dapat anda lihat, kami # (2k)! # pada asasnya adalah sebahagian daripada # (2k + 2)! #. Kita boleh menggunakannya untuk membatalkan setiap istilah umum:

= (2k + 2)!) = Batal (warna (merah) (2k) * (2k-1) * (2k-2) (2k + 2) * (2k + 1) * batal (warna (merah) ((2k) * (2k - 1) * …. * 3 * 2 * 1) #

# = 1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

Daun ini

# => lim_ (k-> oo) abs ((x ^ 2 / ((2k + 2) (2k + 1))) #

Sekarang, kita boleh menilai had ini. Perhatikan bahawa kerana kami tidak mengambil had ini berkenaan dengan # x #, kita boleh mencetuskannya:

# => abs (x ^ 2 lim_ (k-> oo) (1 / ((2k + 2) (2k + 1)) #

# => abs (x ^ 2 * 0) = 0 #

Oleh itu, seperti yang anda lihat, had ini = 0, yang kurang dari 1. Kini, kami bertanya kepada diri sendiri: adakah ada nilai # x # yang mana had ini akan 1? Dan jawapannya tidak, kerana apa-apa yang didarab dengan 0 ialah 0.

Jadi, sejak (2k + 2)! (* 2k) untuk semua nilai # x #, kita boleh mengatakan bahawa ia mempunyai selang penumpuan # (- ya, ya) #.

Harap yang membantu:)