Bagaimanakah anda boleh membuktikan Pengedaran Poisson?

Jawapan:

# "Lihat penjelasan" #

Penjelasan:

# "Kami mengambil tempoh masa dengan panjang" t ", terdiri daripada n bahagian" #

#Delta t = t / n ". Misalkan peluang untuk acara yang berjaya" #

# "dalam satu bahagian adalah" p ", maka jumlah peristiwa dalam n" #

# "potongan masa diedarkan binomial mengikut" #

#p_x (x) = C (n, x) p ^ x (1-p) ^ (n-x), x = 0,1, …,

# "dengan" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! * (k!)) "(kombinasi)" #

# "Sekarang kita membiarkan" #

# n-> oo ", jadi" p-> 0, "tetapi" n * p = lambda #

# "Jadi kita ganti" p = lambda / n "dalam" p_x ":" #

#p_x (x) = (n!) / ((x!) (n-x)!) (lambda / n) ^ x (1-lambda / n) ^ (n-x)

# = lambda ^ x / (x!) (1-lambda / n) ^ n (n!) / ((n-x)!) * 1 / (n ^ x (1-lambda / n) ^ x)

(n-1) (n-1) / n)) ^ x #

# "untuk" n -> oo "apa yang ada di antara …" -> 1 "dan" #

# (1 - lambda / n) ^ n -> e ^ -lambda "(had Euler)," #

# "jadi kami mendapat" #

#p_x (x) = (lambda ^ x e ^ -lambda) / (x!), x = 0,1,2, …, oo #