Mari mulakan dengan fungsi tanpa # m #:
# x ^ 3-2x ^ 2 + 2x = x (x ^ 2-2x + 2) #
Fungsi ini pastinya ada # x = 0 # sebagai akar, kerana kami memikirkannya # x #.
Akar lain adalah penyelesaian # x ^ 2-2x + 2 = 0 #, tetapi parabola ini tidak mempunyai akar. Ini bermakna bahawa polinomial asal hanya mempunyai satu akar.
Kini, polinomial #p (x) # ijazah ganjil sentiasa ada sekurang-kurangnya satu penyelesaian, kerana anda ada
#lim_ {x to- infty} p (x) = - infty # dan #lim_ {x to infty} p (x) = infty #
dan #p (x) # adalah berterusan, jadi ia mesti menyeberang # x # paksi pada satu ketika.
Jawapannya datang dari dua keputusan berikut:
- Polinomial ijazah # n # mempunyai persis # n # akar rumit, tetapi kebanyakannya # n # akar sebenar
- Memandangkan graf #f (x) #, graf #f (x) + k # mempunyai bentuk yang sama, tetapi ia diterjemahkan secara menegak (ke atas jika #k> 0 #, sebaliknya).
Jadi, kita mulakan # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #, yang hanya mempunyai satu akar sebenar (dan dengan itu dua akar kompleks) dan kami mengubahnya # x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + m #, yang bermaksud bahawa kami menerjemahkannya ke atas atau ke bawah, jadi kami tidak mengubah bilangan penyelesaian.
Beberapa contoh:
Fungsi asal: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x -3 3 -4 4}
Terjemahan sehingga: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x + 2 -3 3 -4 4}
Terjemahkan turun: # y = x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 #
graf {x ^ 3-2x ^ 2 + 2x-3 -3 3 -4 4}
Seperti yang anda lihat, selalu ada satu akar
Jawapan:
Lihat di bawah
Penjelasan:
Alternatif, penyelesaian mungkin lebih elegan:
derivat polinomial anda adalah # 3x ^ 2-4x + 2 #, yang merupakan parabola cekung tanpa akar, dan dengan itu sentiasa positif. Jadi, # f # adalah:
- Peningkatan secara monotonik
- #lim_ {x to pm infty} f (x) = pm infty #
- # "deg" (f) = 3 #
Dua mata pertama menunjukkan bahawa # f # mempunyai satu akar tepat, dan yang ketiga adalah dua akar yang lain adalah kompleks.
