Dua sudut segitiga isosceles berada pada (5, 8) dan (4, 6). Sekiranya kawasan segi tiga adalah 36, apakah segi tiga segi segi tiga?

Jawapan:

Pasangan yang diberikan membentuk asas, panjang #sqrt {5} #, dan sisi biasa panjang #sqrt {1038.05} #,

Penjelasan:

Mereka dipanggil simpul.

Saya suka ini kerana kita tidak diberitahu jika kita diberi bahagian biasa atau asas. Mari kita temui segitiga yang menjadikan kawasan itu 36 dan memikirkan yang isosceles kemudian.

Hubungi simpang #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

Kita boleh katakan dengan segera

#AB = sqrt {(5-4) ^ 2 + (8-6) ^ 2} = sqrt {5} #

Forma kasut memberi kawasan tersebut

# 36 = 1/2 | 5 (6) - 8 (4) + 4y - 6x + 8x - 5y | #

# 72 = | -2 + 2x - y | #

# y = 2x - 2 pm 72 #

#y = 2x + 70 quad # dan # quad y = 2x - 74 #

Itulah dua garis selari, dan setiap titik #C (x, y) # sama ada salah seorang daripada mereka membuat #text {area} (ABC) = 36. #

Yang mana isosceles? Terdapat tiga kemungkinan: AB ialah asas, BC adalah pangkalan, atau AC adalah pangkalan. Dua akan mempunyai segitiga kongruen yang sama, tetapi membolehkannya berfungsi:

Kes AC = BC:

# (x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 #

# -10 x + 25 -16 y + 64 = -8x + 16 -12 y + 36 #

# -2x -4 y = -37 #

Yang memenuhi # y = 2x + k quad quad (k = 70, -74) # bila

# -2x -4 (2x + k) = -37 #

# -10 x = 4k - 37 #

# x = 1/10 (37 - 4k) quad quad quad k = 70, -74 #

# x = 1/10 (37 - 4 (70)) = -24.3 #

# y = 2 (-24.3) + 70 = 21.4 #

# x = 1/10 (37 - 4 (-74)) = 33.3 #

#y = 2 (33.3) - 74 = -7.4 #

#C (-24.3, 21.4) # panjang sampingan

#AC = sqrt {(5- -24.3) ^ 2 + (8 - 21.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4- -24.3) ^ 2 + (6 - 21.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

#C (33.3, -7.4) # panjang sampingan

#AC = sqrt {(5 - 33.3) ^ 2 + (8-7.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

# BC = sqrt {(4-33.3) ^ 2 + (6 - -7.4) ^ 2} = sqrt {1038.05} #

kes AB = SM: #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

# 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = (x-4) ^ 2 + (y-6) ^ 2 = x ^ 2 -8x + y ^ 2 - 12 y + 16 + 36 #

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47 #

Itu sakit kerana kuadratik tidak membatalkan. Mari berjumpa dengan

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x + 70 quad # tiada penyelesaian yang sebenar

# 0 = x ^ 2 - 8x + y ^ 2 - 12y + 47, y = 2x - 74 quad # tiada penyelesaian yang sebenar

Tiada apa di sini.

kes AB = AC: #A (5,8), B (4,6), C (x, y). #

# 1 ^ 2 + 2 ^ 2 = (x-5) ^ 2 + (y-8) ^ 2 = x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x +

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 #

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0 y = 2x + 70 quad # tiada penyelesaian

# x ^ 2 - 10 x + y ^ 2 - 16 x + 84 = 0, y = 2x - 74 quad # tiada penyelesaian