Apakah extrema mutlak f (x) = x / (x ^ 2 -6) dalam [3,7]?

Ekstrema mutlak boleh terjadi pada sempadan, pada ekstrem tempatan, atau titik tak ditentukan.

Marilah kita cari nilai-nilai #f (x) # di sempadan # x = 3 # dan # x = 7 #. Ini memberi kami #f (3) = 1 # dan #f (7) = 7/43 #.

Kemudian, cari extrema setempat dengan derivatif. Derivatif #f (x) = x / (x ^ 2-6) # boleh dijumpai menggunakan peraturan quotient: # d / dx (u / v) = ((du) / dxv-u (dv) / dx) / v ^ 2 # di mana # u = x # dan # v = x ^ 2-6 #.

Oleh itu, #f '(x) = - (x ^ 2 + 6) / (x ^ 2-6) ^ 2 #. Ekstrema tempatan berlaku apabila #f '(x) = 0 #, tetapi tiada tempat #x dalam 3,7 # adalah #f '(x) = 0 #.

Kemudian, dapatkan sebarang titik yang tidak ditentukan. Walau bagaimanapun, untuk semua #x dalam 3,7 #, #f (x) # ditakrifkan.

Oleh itu, ia bermakna bahawa maksimum mutlak ialah #(3,2)# dan minimum mutlak ialah #(7,7/43)#.

Apakah extrema mutlak f (x) = x ^ 3 - 3x + 1 dalam [0,3]?

Pada [0,3], maksimum ialah 19 (pada x = 3) dan minimum ialah -1 (pada x = 1). Untuk mencari extrema mutlak fungsi (berterusan) pada selang tertutup, kita tahu bahawa extrema mesti berlaku di mana-mana kritikal numers dalam selang atau pada titik akhir selang. f (x) = x ^ 3-3x + 1 mempunyai derivatif f '(x) = 3x ^ 2-3. 3x ^ 2-3 tidak pernah ditakrifkan dan 3x ^ 2-3 = 0 pada x = + - 1. Oleh kerana -1 tidak berada dalam jarak [0,3], kami membuangnya. Nombor kritikal yang perlu dipertimbangkan adalah 1. f (0) = 1 f (1) = -1 dan f (3) = 19. Jadi, maksimum ialah 19 (pada x = 3) dan minimum ialah -1 (pada x = 1).

Apakah extrema mutlak f (x) = (x ^ 3-7x ^ 2 + 12x-6) / (x-1) dalam [1,4]?

Tidak ada maxima global. Minima global adalah -3 dan berlaku pada x = 3. f (x) = (x ^ 3 - 7x ^ 2 + 12x - 6) / (x - 1) f (x) = ((x - 1) (X - 1) f (x) = x ^ 2 - 6x + 6, di mana x 1 f '(x) = 2x - 6 Extrema mutlak berlaku di titik akhir atau di nombor kritikal. Titik akhir: 1 & 4: x = 1 f (1): "undefined" lim_ (x 1) f (x) = 1 x = 4 f (4) = -2 Titik kritikal: = 2x - 6 f '(x) = 0 2x - 6 = 0, x = 3 Pada x = 3 f (3) = -3 Tidak ada maksima global. Tiada minima global adalah -3 dan berlaku pada x = 3.

Apakah extrema mutlak f (x) = 1 / (1 + x ^ 2) dalam [oo, oo]?

X = 0 adalah maksimum fungsi. f (x) = 1 / (1 + x²) Mari cari f '(x) = 0 f' (x) = - 2x / ((1 + x²) ²) Jadi kita dapat melihat bahawa terdapat penyelesaian unik, (0) = 0 Dan juga penyelesaian ini adalah maksimum fungsi, kerana lim_ (x hingga ± oo) f (x) = 0, dan f (0) = 1 0 / di sini adalah jawapan kita!