Ujian f untuk concavity?

Jawapan:

# f # adalah cembung dalam # RR #

Penjelasan:

Menyelesaikannya saya rasa.

# f # adalah 2 kali berbeza dalam # RR # jadi # f # dan # f '# berterusan dalam # RR #

Kami ada # (f '(x)) ^ 3 + 3f' (x) = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2x + 7 #

Membezakan kedua-dua bahagian yang kita dapat

# 3 * (f '(x)) ^ 2f' '(x) + 3f' '(x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # #<=>#

# 3f '' (x) ((f '(x)) ^ 2 + 1) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 #

• #f '(x) ^ 2> = 0 # jadi #f '(x) ^ 2 + 1> 0 #

#<=># #f '' (x) = (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) / (3 ((f '(x)) ^ 2 + 1)> 0)

Kita memerlukan tanda pengangka supaya kita mempertimbangkan fungsi baru

#g (x) = e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 # , # x ## dalam ## RR #

#g '(x) = e ^ x-cosx + 6x #

Kami perasan itu #g '(0) = e ^ 0-cos0 + 6 * 0 = 1-1 + 0 = 0 #

Untuk # x = π # #=># #g '(π) = e ^ π-cosπ + 6π = e ^ π + 1 + 6π> 0 #

Untuk # x = -π # #g '(- π) = e ^ (- π) -cos (-π) -6π = 1 / e ^ π + cosπ-6π = 1 / e ^ π-1-6π <0 #

Kami akhirnya mendapatkan jadual ini yang memperlihatkan monotoni # g #

Sepatutnya # I_1 = (- oo, 0 # dan # I_2 = 0, + oo) #

#g (I_1) = g ((- oo, 0)) = g (0), lim_ (xrarr-oo) g (x)) = 3,

#g (I_2) = g (0, + oo)) = g (0), lim_ (xrarr + oo) g (x)) = 3,

kerana

• #lim_ (xrarr-oo) g (x) = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2)

# | sinx | <= 1 # #<=># # -1 <= - sinx <= 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 2-1 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2-sinx <= e ^ x + 3x ^ 2 + 2 + 1 # #<=>#

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2 <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 <=>

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

• Menggunakan teorem perasan / sandwic yang kami ada

#lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = lim_ (xrarr-oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 3x) #

Oleh itu, #lim_ (xrarr-oo) g (x) = + oo #

• #lim_ (xrarr + oo) g (x) = lim_ (xrarr + oo) (e ^ x-sinx + 3x ^ 2 + 2) #

Dengan proses yang sama kita berakhir

# e ^ x + 3x ^ 2 + 1 <= g (x) <= e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Walau bagaimanapun, #lim_ (xrarr + oo) (e ^ x + 3x ^ 2 + 1) = + oo = e ^ x + 3x ^ 2 + 3 #

Oleh itu, #lim_ (xrarr + oo) g (x) = + oo #

Julat # g # akan jadi:

# R_g = g (D_g) = g (I_1) uug (I_2) = 3, + oo) #

• # 0! InR_g = 3, + oo) # jadi # g # tidak mempunyai akar dalam # RR #

  # g # berterusan dalam # RR # dan tidak mempunyai penyelesaian. Oleh itu, # g # mengekalkan log masuk # RR #

Maksudnya

# {(g (x)> 0 "," xεRR), (g (x) <0 "," xεRR):} #

Oleh itu, #g (π) = e ^ π-sinπ + 3π ^ 2 + 2 = e ^ π + 3π ^ 2 + 2> 0 #

Akibatnya #g (x)> 0 #, # x ## dalam ## RR #

Dan #f '' (x)> 0 #, # x ## dalam ## RR #

#-># # f # adalah cembung dalam # RR #

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Diberikan #y = f (x) # radius lengkung kurva diberikan oleh

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') # begitu diberikan

# (f ') ^ 3 + 3f' = e ^ x + cosx + x ^ 3 + 2 x + 7 # kita ada

# 3 (f ') ^ 2f' '+ 3f' '= e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # atau

#f '' (1+ (f ') ^ 2) = 1/3 (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # atau

# 1 / (f '' (1+ (f ') ^ 2)) = 3 / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # atau

#rho = (1+ (f ') ^ 2) ^ (3/2) / (f' ') = (3 (1+ (f') ^ 2) ^ (5/2) + 3x ^ 3-sinx + 2) #

kini menganalisis #g (x) = e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2 # kita ada

#min g (x) = 0 # untuk #x dalam RR # jadi #g (x) ge 0 # dan kemudian kelengkungan dalam

#rho = (3 (1+ (f ') ^ 2) ^ (5/2)) / (e ^ x + 3x ^ 3-sinx + 2) # tidak mengubah tanda supaya kita menyimpulkan bahawa #f (x) # epigraph adalah cembung dalam # RR #