Apakah teorem DeMoivre? + Contoh

Teorem DeMoivre berkembang pada formula Euler:

# e ^ (ix) = cosx + isinx #

Teorem DeMoivre mengatakan bahawa:

• # (e ^ (ix)) ^ n = (cosx + isinx) ^ n #
• # (e ^ (ix)) ^ n = e ^ (i nx) #
• # e ^ (i nx) = cos (nx) + isin (nx) #
• #cos (nx) + isin (nx) - = (cosx + isinx) ^ n #

Contoh:

#cos (2x) + isin (2x) - = (cosx + isinx) ^ 2 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx + i ^ 2sin ^ 2x #

Walau bagaimanapun, # i ^ 2 = -1 #

# (cosx + isinx) ^ 2 = cos ^ 2x + 2icosxsinx-sin ^ 2x #

Menyelesaikan bahagian sebenar dan khayalan # x #:

# cos ^ 2x-sin ^ 2x + i (2cosxsinx) #

Berbanding dengan #cos (2x) + isin (2x) #

#cos (2x) = cos ^ 2x-sin ^ 2x #

#sin (2x) = 2sinxcosx #

Ini adalah formula sudut berganda untuk # cos # dan # sin #

Ini membolehkan kita berkembang #cos (nx) # atau #sin (nx) # dari segi kuasa # sinx # dan # cosx #

Teorem DeMoivre boleh diambil lebih jauh:

Diberikan # z = cosx + isinx #

# z ^ n = cos (nx) + isin (nx) #

#z ^ (- n) = (cosx + isinx) ^ (- n) = 1 / (cos (nx) + isin (nx)) #

(x) (cos (nx) -isin (nx)) / (cos (nx) -isin (nx)) = (cos (nx)) -isin (nx)) / (cos ^ 2 (nx) + sin ^ 2 (nx)) = cos (nx) -isin (nx) #

# z ^ n + z ^ (- n) = 2cos (nx) #

# z ^ n-z ^ (- n) = 2isin (nx) #

Jadi, jika anda ingin menyatakan # sin ^ nx # dari sudut pelbagai sudut # sinx # dan # cosx #:

# (2isinx) ^ n = (z-1 / z) ^ n #

Kembangkan dan mudah, kemudian masukkan nilai untuk # z ^ n + z ^ (- n) # dan # z ^ n-z ^ (- n) # di mana perlu.

Walau bagaimanapun, jika ia terlibat # cos ^ nx #, maka anda akan lakukan # (2cosx) ^ n = (z + 1 / z) ^ n # dan ikuti langkah yang sama.