Jawapan:
#int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2)
Penjelasan:
Untuk masalah ini masuk akal # 4-9x ^ 2> = 0 #, jadi # -2 / 3 <= x <= 2/3 #. Oleh itu kita boleh memilih a # 0 <= u <= pi # seperti itu # x = 2 / 3cosu #. Dengan menggunakan ini, kita boleh mengganti pembolehubah x dalam integral menggunakan # dx = -2 / 3sinudu #: #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -4 / 27intcos ^ 2u / (sqrt (1-cos ^ 2u)) sinudu = -4 / di sini kita menggunakannya # 1-cos ^ 2u = sin ^ 2u # dan itu untuk # 0 <= u <= pi # #sinu> = 0 #.
Sekarang kita menggunakan integrasi oleh bahagian-bahagian untuk mencari # intcos ^ 2udu = intcosudsinu = sinucosu-intsinudcosu = sinucosu + intsin ^ 2u = sinucosu + intdu-intcos ^ 2udu = sinucosu + u + c-intcos ^ 2udu #. Oleh itu # intcos ^ 2udu = 1/2 (sinucosu + u + c) #.
Jadi kami telah menemui #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -2 / 27 (sinucosu + u + c) #, sekarang kita ganti # x # kembali untuk # u #, menggunakan # u = cos ^ (- 1) ((3x) / 2) #, jadi #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 9xsin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) - 2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2) + c #.
Kita dapat mempermudah ini dengan menggunakan definisi sine dan kosinus dari segi segitiga. Untuk segi tiga tepat dengan sudut # u # di salah satu sudut bukan kanan, # sinu = "bertentangan" / "sisi terpanjang" #, sementara # cosu = "sebelah bersebelahan" / "sisi terpanjang" #, kerana kita tahu # cosu = (3x) / 2 #, kita boleh memilih sebelah bersebelahan # 3x # dan bahagian terpanjang menjadi #2#. Menggunakan teorem Pythagoras, kita dapati sebaliknya #sqrt (4-9x ^ 2) #, jadi #sin (cos ^ (- 1) ((3x) / 2)) = sinu = 1 / 2sqrt (4-9x ^ 2) #. Oleh itu #int x ^ 2 / sqrt (4-9x ^ 2) dx = -1 / 18xsqrt (4-9x ^ 2) -2 / 27cos ^ (- 1) ((3x) / 2).
