Julat e ^ x / ([x] +1), x> 0 dan di mana [x] menandakan integer terbesar?

Jawapan:

#f: (0, + oo) -> (1/2, + oo) #

Penjelasan:

Saya mengandaikan # x # adalah integer terkecil yang lebih besar daripada # x #. Dalam jawapan berikut, kami akan menggunakan notasi tersebut #ceil (x) #, dipanggil fungsi siling.

Biarkan #f (x) = e ^ x / (ceil (x) +1) #. Sejak # x # ketat lebih besar daripada #0#, ini bermakna bahawa domain # f # adalah # (0, + oo) #.

Sebagai #x> 0 #, #ceil (x)> 1 # dan sejak # e ^ x # sentiasa positif, # f # sentiasa ketat lebih besar daripada #0# dalam domainnya. Adalah penting untuk ambil perhatian bahawa # f # adalah tidak injective dan juga tidak berterusan pada nombor semula jadi. Untuk membuktikan ini, mari # n # menjadi nombor semula jadi:

# R_n = lim_ (x-> n ^ +) f (x) = lim_ (x-> n ^ +) e ^ x / (ceilx + 1) #

Kerana #x> n #, #ceil (x) = n + 1 #.

# R_n = e ^ n / (n + 2) #

# L_n = lim_ (x-> n ^ -) f (x) = lim_ (x-> n ^ -) e ^ x / (ceilx + 1)

Begitu juga, #ceil (x) = n #.

# L_n = e ^ n / (n + 1) #

Oleh kerana had sisi kiri dan kanan tidak sama, # f # tidak berterusan pada integer. Juga, #L> R # untuk semua #n dalam NN #.

Sebagai # f # semakin banyak selang yang dibatasi oleh bilangan bulat positif, "nilai terkecil" setiap selang akan sama # x # mendekati batas bawah dari kanan.

Oleh itu, nilai minima # f # akan menjadi

(X-> 0 ^ +) e ^ x / (ceil (x) +1) = e ^ 0 / (0 + 2) = 1 / 2 #

Ini adalah batas bawah julat # f #.

Walaupun tidak betul untuk mengatakannya # f # semakin meningkat, dalam erti kata, asymptotically, ia mendekati tak terhingga - seperti yang dibuktikan di bawah:

#lim_ (x-> oo) f (x) = lim_ (x-> oo) e ^ x / (ceil (x) +1) #

Sebagai #ceilx> = x #, terdapat a #delta <1 # seperti itu # ceilx = x + delta #:

# = lim_ (x-> oo) e ^ x / (x + delta + 1) #

Biarkan #u = x + delta + 1 => x = u-delta-1 #.

# = lim_ (u-> oo) e ^ (u-delta-1) / u = lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1)

# e ^ u # meningkat secara eksponen sementara # u # tidak begitu linear, bermakna itu

#lim_ (u-> oo) e ^ u / u = oo #

#:. lim_ (u-> oo) e ^ u / u * 1 / e ^ (delta + 1) = oo * 1 / e ^ (delta + 1)

#:. lim_ (x-> oo) f (x) = oo #

Oleh itu, pelbagai # f # adalah

# "Julat" = (1/2, oo) #

Selang dibuka di sebelah kiri kerana #http: // 2 # masih #f (0) #, dan sebagai # x # pendekatan #0^+#, #f (x) # hanya pendekatan #http: // 2 #; ia tidak semestinya sama.