Apakah kos [sin ^ (- 1) (- 1/2) + cos ^ (- 1) (5/13)]?

Jawapan:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Penjelasan:

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) + sin ^ (- 1) (- 1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -sin ^ (- 1) (1/2) #

# = cos cos ^ (- 1) (5/13) -cos ^ (- 1) (sqrt3 / 2) #

Sekarang, gunakan #cos ^ (- 1) x-cos ^ (- 1) y = xy + sqrt ((1-x ^ 2) * (1-y ^ 2)) #, kita mendapatkan,

#rarrcos cos ^ (- 1) (5/13) -in ^ (- 1) (1/2) #

# = cos (cos ^ (- 1) (5/13 * sqrt3 / 2 + sqrt ((1- (5/13) ^ 2) * (1- (sqrt (3) / 2) ^ 2) #

# = (5sqrt3) / 26 + 12/26 #

# = (12 + 5sqrt3) / 26 #

Jawapan:

Dengan rumusan sudut jumlah itu

# cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - dosa (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)

# = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

# = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #

Penjelasan:

#x = cos (arcsin (-1/2) + arccos (5/13)) #

Soalan-soalan ini cukup mengelirukan dengan notasi fungsi songsang funky. Masalah sebenar dengan soalan seperti ini adalah yang terbaik untuk merawat fungsi songsang sebagai multivalued, yang mungkin bermaksud ungkapan mempunyai banyak nilai.

Kita juga boleh melihat nilai # x # untuk nilai utama fungsi songsang, tetapi saya akan meninggalkannya kepada orang lain.

Bagaimanapun, inilah kosina dari jumlah dua sudut, dan ini bermakna kita menggunakan rumus sudut jumlah:

#cos (a + b) = cos a cos - dosa dosa b #

# x = cos (arcsin (-1/2)) cos (arccos (5/3)) - sin (arcsin (-1/2)) sin (arccos (5/13)

Cosine cosine songsang dan sinus sinus songsang mudah. Kosin sinus sinus dan sinus kosine songsang juga mudah, tetapi di sinilah isu multivaluasi datang.

Secara umumnya akan ada dua sudut bukan kosi yang berkongsi kosine yang diberikan, negasi antara satu sama lain, yang sinesnya akan menjadi satu sama lain. Secara umumnya terdapat dua sudut bukan bersaling yang berkongsi satu sinus, sudut tambahan, yang akan mempunyai kosinus yang menafikan satu sama lain. Jadi kedua-dua cara kita dengan a # malam #. Persamaan kami akan mempunyai dua # pm # dan penting untuk ambil perhatian bahawa mereka bebas, tidak berkaitan.

Mari ambil #arcsin (-1/2) # pertama. Ini sudah tentu salah satu klise trig, # -30 ^ circ # atau # -150 ^ pusingan #. Kosina akan # + sqrt {3} / 2 # dan # - sqrt {3} / 2 # masing-masing.

Kita tidak perlu mempertimbangkan sudut. Kita boleh memikirkan segitiga yang betul dengan bertentangan 1 dan hypotenuse 2 dan tampil dengan bersebelahan # sqrt {3} # dan cosine # pm sqrt {3} / 2 #. Atau jika terlalu banyak berfikir, sejak itu # cos ^ 2theta + sin ^ 2 theta = 1 # kemudian #cos (theta) = pm sqrt {1 - sin ^ 2 theta} # yang secara mechanically membolehkan kita mengatakan:

# cos (arcsin (-1/2)) = pm sqrt {1 - (-1/2) ^ 2} = pm sqrt {3} / 2 #

Begitu juga, #5,12,13# adalah Triple Pythagoras yang bekerja di sini begitu

#sin (arccos (5/3)) = pm sqrt {1 - (5/13) ^ 2} = pm 12/13 #

# x = (pm sqrt {3} / 2) (5/3) - (-1/2) (pm 12/13) #

#x = pm {5 sqrt {3}} / 6 pm 6/13 #