Tunjukkan bahawa c <1? - Kalkulus 2024

Diselesaikan.

# f # berterusan dalam # RR # dan juga # - 1,1 subRRR #.

#f (1) f (-1) <0 #

Menurut Teori Bolzano (generalisasi)

#EE x_0 ## dalam ## (- 1,1): f (x_0) = 0 #

Sepatutnya # | c |> = 1 # #<=># #c> = 1 # atau #c <= - 1 #

Jika #c> = 1 # kemudian #f (x)! = 0 # jika # x ## dalam ## (- oo, c) uu (c, + oo) #

Walau bagaimanapun, #f (x_0) = 0 # dengan # x_0 ## dalam ##(-1,1)# #=># #-1 <# # x_0 # # <1 <= c # #=># # x_0 ## dalam ## (- oo, c) #

KAWALAN!

Jika #c <= - 1 # kemudian #f (x)! = 0 # jika # x ## dalam ## (- oo, c) uu (c, + oo) #

Walau bagaimanapun, #f (x_0) = 0 # dengan # x_0 ## dalam ##(-1,1)# #=>#

#c <= - 1 # #<# # x_0 <1 # #=># # x_0 ## dalam ## (c, + oo) #

KAWALAN!

Oleh itu, # | c | <1 #

Katakan bahawa z = x + yi, di mana x dan y adalah nombor nyata. Jika (iz-1) / (z-i) adalah nombor sebenar, tunjukkan bahawa apabila (x, y) tidak sama (0, 1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1?

Sila lihat di bawah, Sebagai z = x + iy (iz-1) / (zi) = (i (x + iy) -1) / (x + iy-i) = (ix-y-1) i (y-1)) = (ix- (y + 1)) / (x + i (y-1)) xx (xi (y-1)) / (xi (y-1) (y-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (ix ^ 2 + x (y-1) -x (y + 1) (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (x ((y-1) - (y + 1)) + i (x ^ 2 + 1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) = (-2x + i (x ^ 2 + y ^ 2-1)) / (x ^ 2 + (y-1) ^ 2) (zi) adalah real (x ^ 2 + y ^ 2-1) = 0 dan x ^ 2 + (y-1) ^ 2! = 0 Sekarang sebagai x ^ 2 + (y-1) ^ 2 adalah jumlah dua segi, ia boleh menjadi sifar apabila x = 0 dan y = 1 iaitu jika (x, y) tidak (0,1), x ^ 2 + y ^ 2 = 1

Andrew mendakwa bahawa sebuah buku kecil kayu yang membentuk segi empat tepat 45 ° - 45 ° - 90 ° mempunyai panjang sisi 5 inci, 5 inci, dan 8 inci. Adakah dia betul? Jika ya, tunjukkan kerja dan jika tidak, tunjukkan mengapa tidak.

Andrew salah. Sekiranya kita berurusan dengan segitiga yang betul, maka kita boleh menggunakan teorem pythagorean, yang menyatakan bahawa a ^ 2 + b ^ 2 = h ^ 2 di mana h ialah hipotenus segitiga, dan a dan b kedua-dua pihak. Andrew mendakwa bahawa a = b = 5in. dan h = 8in. 5 ^ 2 + 5 ^ 2 = 25 + 25 = 50 8 ^ 2 = 64! = 50 Oleh itu, ukuran segitiga yang diberikan oleh Andrew adalah salah.

Graf h (x) ditunjukkan. Grafik nampaknya berterusan di, di mana definisi berubah. Tunjukkan bahawa h sebenarnya terus menerus dengan mencari had kiri dan kanan dan menunjukkan bahawa definisi kesinambungan dipenuhi?

Sila rujuk kepada Penjelasan. Untuk menunjukkan bahawa h berterusan, kita perlu menyemak kesinambungannya di x = 3. Kita tahu bahawa, h akan menjadi cont. pada x = 3, jika dan hanya jika, lim_ (x hingga 3) h (x) = h (3) = lim_ (x hingga 3+) h (x) ............ ................... (ast). Sebagai x hingga 3, x lt 3:. h (x) = - x ^ 2 + 4x + 1. :. (x hingga 3) h (x) = lim_ (x hingga 3 -) - x ^ 2 + 4x + 1 = - (3) ^ 2 + 4 (3) +1, rArr lim_ (x hingga 3) h (x) = 4 ............................................ .......... (ast ^ 1). Begitu juga, lim_ (x hingga 3+) h (x) = lim_ (x hingga 3+) 4 (0.6) ^ (x-3) = 4 (0.6) ^ 0. rArr lim_ (x