Sepasang dadu enam kaki yang adil dibuang lapan kali. Cari kebarangkalian bahawa skor lebih besar daripada 7 dijaring tidak melebihi lima kali?

Jawapan:

#~=0.9391#

Penjelasan:

Sebelum kita masuk ke soalan itu sendiri, mari kita bincangkan kaedah untuk menyelesaikannya.

Sebagai contoh, katakan, saya ingin menyumbang semua hasil yang mungkin dari membalik duit syiling adil tiga kali. Saya boleh mendapatkan HHH, TTT, TTH, dan HHT.

Kebarangkalian H ialah #1/2# dan kebarangkalian untuk T juga #1/2#.

Untuk HHH dan TTT, itu # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # setiap.

Bagi TTH dan HHT, ia juga # 1 / 2xx1 / 2xx1 / 2 = 1/8 # masing-masing, tetapi kerana terdapat 3 cara saya boleh mendapatkan setiap hasil, ia akhirnya menjadi # 3xx1 / 8 = 3/8 # setiap.

Apabila saya menyimpulkan keputusan ini, saya dapat #1/8+3/8+3/8+1/8=1# - yang bermaksud saya kini mempunyai semua kemungkinan hasil duit syiling syiling yang dikira.

Perhatikan bahawa jika saya menetapkan # H # akan menjadi # p # dan oleh itu ada # T # menjadi # ~ p #, dan juga melihat bahawa kita mempunyai garis dari Segitiga Pascal #(1,3,3,1)#, kami telah menyediakan satu bentuk:

#sum_ (k = 0) ^ (n) C_ (n, k) (p) ^ k ((p) ^ (n-k)

dan sebagainya dalam contoh ini, kita dapat:

# = C_ (3,0) (1/2) ^ 0 (1/2) ^ 3 + C_ (3,1) (1/2) ^ 1 (1/2) ^ 2 + C_ (3,2) (1/2) ^ 2 (1/2) ^ 1 + C_ (3,3) (1/2) ^ 3 (1/2) ^ 0 #

#=1(1)(1/8)+3(1/2)(1/4)+3(1/4)(1/2)+1(1/8)(1)#

#=1/8+3/8+3/8+1/8=1#

Sekarang kita boleh buat masalah.

Kami diberi bilangan gulung sebanyak 8, jadi # n = 8 #.

# p # adalah jumlah yang lebih besar daripada 7. Untuk mencari kebarangkalian mendapatkan jumlah yang lebih besar daripada 7, mari lihat gulungan yang mungkin:

# ((warna (putih) (0), ul1, ul2, ul3, ul4, ul5, ul6), (1 |, 2,3,4,5,6,7), (2 |, 3,4,5, 6,7,8), (3 |, 4,5,6,7,8,9), (4 |, 5,6,7,8,9,10), (5 |, 6,7, 8,9,10,11), (6 |, 7,8,9,10,11,12)) #

Daripada 36 kemungkinan, 15 gulung memberi jumlah lebih daripada 36, memberikan kebarangkalian #15/36=5/12#.

Dengan # p = 5/12, ~ p = 7/12 #

Kita boleh menuliskan keseluruhan jumlah kemungkinan - dari mendapat semua 8 gulung menjadi jumlah yang lebih besar dari 7 hingga ke semua gulungan menjadi 7 atau kurang:

# = C_ (8,0) (5/12) ^ 8 (7/12) ^ 0 + C_ (8,1) (5/12) ^ 7 (7/12) ^ 1 + C_ (8,2) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2 + C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) 7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + (8,7) (5/12) ^ 1 (7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 = 1 #

tetapi kami berminat untuk merumuskan hanya istilah yang mempunyai lebih daripada 7 jumlah yang berlaku 5 kali atau kurang:

# = C_ (8,3) (5/12) ^ 5 (7/12) ^ 3 + C_ (8,4) (5/12) ^ 4 (7/12) ^ 4 + C_ (8,5) (5/12) ^ 3 (7/12) ^ 5 + C_ (8,6) (5/12) ^ 2 (7/12) ^ 6 + C_ (8,7) (5/12) 7/12) ^ 7 + C_ (8,8) (5/12) ^ 0 (7/12) ^ 8 #

#~=0.9391#

Jawapan:

#0.93906#

Penjelasan:

# "Jadi P hasil> 7 = 15/36 = 5/12" #

#P "ia berlaku k kali pada 8 lontaran" = C (8, k) (5/12) ^ k (7/12) ^ (8-k) "#

# "(taburan binomial)" #

# "dengan" C (n, k) = (n!) / ((n-k)! k!) "(kombinasi)" #

# "Jadi," #

#P "ia berlaku paling banyak 5 kali pada 8 lontaran" #

# = 1 - P "ia berlaku 6, 7, atau 8 kali pada 8 lontaran" #

# = 1-C (8,6) (5/12) ^ 6 (7/12) ^ 2-C (8,7) (5/12) ^ 7 (7/12) - (5/12) ^ 8 #

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 8*(7/5) + 28*(7/5)^2)#

#= 1 - (5/12)^8 (1 + 11.2 + 54.88) = 1 - (5/12)^8 (67.08)#

#= 0.93906#