Apakah extrema tempatan, jika ada, dari f (x) = xe ^ (x ^ 3-7x)?

Jawapan:

#(0.14414, 0.05271)# adalah maksimum tempatan

#(1.45035, 0.00119)# dan #(-1.59449, -1947.21451)# adalah minimum tempatan.

Penjelasan:

#f (x) = y = xe ^ (x ^ 3-7x) #

# dy / dx = x (3x ^ 2-7) e ^ (x ^ 3-7x) + e ^ (x ^ 3-7x) = e ^ (x ^ 3-7x) (3x ^ 3-7x +) = 0 #

# e ^ (x ^ 3-7x) = 0,:. 1 / e ^ (7x-x ^ 3) = 0,:. e ^ (7x-x ^ 3) = - oo,:. x = oo #

Ini tidak layak sebagai extremum tempatan.

# 3x ^ 3-7x + 1 = 0 #

Untuk menyelesaikan akar fungsi padu ini, kami menggunakan kaedah Newton-Raphson:

# x_ (n + 1) = x_n-f (x_x) / (f '(x_n)) #

Ini adalah proses berulang yang akan membawa kita dekat dan dekat dengan akar fungsi. Saya tidak termasuk proses yang panjang di sini tetapi setelah mencapai akar yang pertama, kita boleh melakukan pembahagian lama dan menyelesaikan kuadrat yang selebihnya dengan mudah untuk dua akar yang lain.

Kami akan mendapat akar berikut:

# x = 0.14414, 1.45035, dan -1.59449 #

Sekarang kita menjalankan ujian derivatif pertama dan cuba nilai ke kiri dan kanan setiap akar untuk melihat di mana derivatif adalah positif atau negatif.

Ini akan memberitahu kita titik mana yang maksimum dan yang minimum.

Hasilnya akan seperti berikut:

#(0.14414, 0.05271)# adalah maksimum tempatan

#(1.45035, 0.00119)# dan #(-1.59449, -1947.21451)# adalah minimum tempatan.

Anda boleh melihat salah satu minimum dalam graf di bawah:

Pandangan berikut menunjukkan maksimum dan minimum yang lain:

Apakah extrema tempatan, jika ada, dari f (x) = 2x + 15x ^ (2/15)?

Maksimum tempatan 13 pada 1 dan minimum tempatan 0 pada 0. Domain f adalah RR f '(x) = 2 + 2x ^ (- 13/15) = (2x ^ (13/15) +2) / x ^ (13/15) f '(x) = 0 pada x = -1 dan f' (x) tidak wujud pada x = 0. Kedua -1 dan 9 berada dalam domain f, jadi kedua-duanya adalah nombor kritikal. Ujian Derivatif Pertama: Pada (-oo, -1), f '(x)> 0 (misalnya pada x = -2 ^ 15) Pada (-1,0), f' (x) <0 x = -1 / 2 ^ 15) Oleh itu, f (-1) = 13 adalah maksimum tempatan. Pada (0, oo), f '(x)> 0 (gunakan mana-mana x besar yang besar) Jadi f (0) = 0 adalah minimum tempatan.

Apakah extrema tempatan, jika ada, dari f (x) = 2x ^ 3 -3x ^ 2 + 7x-2?

Tidak ada ekstras tempatan dalam RR ^ n untuk f (x) Kita perlu terlebih dahulu mengambil derivatif f (x). (x) = 6x ^ 2- 6x + 7 Untuk menyelesaikan ekstras tempatan, kita mesti menetapkan derivatif kepada 0 6x ^ 2-6x + 7 = 0 x = (6 + -sqrt (6 ^ 2-168)) / 12 Sekarang, kita telah memukul masalah. Inilah x inCC jadi ekstras tempatan adalah kompleks. Inilah yang berlaku apabila kita memulakan ekspresi padu, itu sifar kompleks boleh berlaku dalam ujian derivatif pertama. Dalam kes ini, tiada ekstras tempatan dalam RR ^ n untuk f (x).

Apakah extrema tempatan, jika ada, dari f (x) = 2x ^ 4-36x ^ 2 + 5?

X = {- 3,0,3} Ekstrema lokal berlaku setiap kali cerun adalah sama dengan 0 sehingga kita harus terlebih dahulu mencari derivatif fungsi itu, tetapkannya sama dengan 0, dan kemudian selesaikan untuk x untuk mencari semua x yang mana ada extrema tempatan. Menggunakan peraturan kuasa bawah, kita dapati bahawa f '(x) = 8x ^ 3-72x. Sekarang setkannya sama dengan 0. 8x ^ 3-72x = 0. Untuk menyelesaikan, faktor keluar 8x untuk mendapatkan 8x (x ^ 2-9) = 0 kemudian menggunakan aturan perbezaan dua kotak berpecah x ^ 2-9 ke dua faktornya untuk mendapatkan 8x (x + 3) (x- 3) = 0. Sekarang tetapkan masing-masing secara berasingan