Bagaimana penggantian trigonometri berbeza daripada penggantian?

Jawapan:

Umumnya, penggantian trig digunakan untuk integral bentuk # x ^ 2 + -a ^ 2 # atau #sqrt (x ^ 2 + -a ^ 2) #, sementara # u #-pemudian digunakan apabila fungsi dan derivatifnya muncul secara integral.

Penjelasan:

Saya dapati kedua-dua jenis penggantian yang sangat menarik kerana alasan di belakangnya. Pertimbangkan, pertama, penggantian trig. Ini berpunca daripada Teorema Pythagoras dan Identiti Pythagorean, mungkin dua konsep yang paling penting dalam trigonometri. Kami menggunakan ini apabila kita mempunyai sesuatu seperti:

# x ^ 2 + a ^ 2 -> # di mana # a # adalah tetap

#sqrt (x ^ 2 + a ^ 2) -> # sekali lagi mengandaikannya # a # adalah tetap

Kita dapat melihat bahawa kedua-dua kelihatan sangat menyeramkan # a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 #, yang merupakan Teorema Pythagorean. Ia mengaitkan kedua-dua belah segitiga yang tepat untuk hipotenus segi tiga. Jika kita melukiskan ini, kita dapat melihat bahawa ya, # x ^ 2 + a ^ 2 # boleh diwakili dengan segitiga:

Gambar ini sangat berguna, kerana ia memberitahu kami # tantheta = x / a #, atau # atantheta = x #; ini membentuk asas penggantian trig. Tambahan pula (dan inilah di mana ia menjadi hebat), apabila anda mengganti # x = tantheta # ke dalam # x ^ 2 + a ^ 2 #, anda mempunyai identiti Pythagorean, dalam kes ini # tan ^ 2theta + 1 = sec ^ 2theta #. Anda boleh membuat beberapa penyederhanaan # sec ^ 2theta # jika anda perlu, dan integral mudah di sana. Begitu juga untuk kes-kes tersebut # x ^ 2-a ^ 2 #, # a ^ 2-x ^ 2 #, #sqrt (x ^ 2-a ^ 2) #, dan #sqrt (a ^ 2-x ^ 2) #.

Anda boleh menggunakan sub trig. untuk masalah yang banyak, tetapi anda boleh menggunakannya # u #-pemudian boleh dikatakan lebih banyak lagi. Kami menggunakan teknik ini apabila kita mempunyai sesuatu seperti # intlnx / xdx #. Jika kita pandai, kita lihat bahawa kita mempunyai dua fungsi - # lnx # dan # 1 / x #. Dan jika kita masih ingat derivatif asas kita, kita tahu # d / dxlnx = 1 / x # untuk #x> 0 # (atau # d / dxlnabs (x) = 1 / x # untuk #x! = 0 #). Jadi idea itu adalah untuk mengatakan # u = lnx #; kemudian # (du) / dx = 1 / x # dan # du = dx / x #. Masalahnya, setelah membuat penggantian ini, memudahkan # intudu # - jauh lebih mudah daripada sebelumnya.

Walaupun kedua teknik ini mungkin berbeza, kedua-duanya memberikan tujuan yang sama: untuk mengurangkan integral kepada bentuk yang lebih mudah supaya kita dapat menggunakan teknik asas. Saya pasti penjelasan saya tidak mencukupi untuk memasukkan semua butiran khusus tentang penggantian ini, jadi saya menjemput orang lain untuk menyumbang.