Bagaimana anda mengintegrasikan int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Jawapan:

Integral ini tidak wujud.

Penjelasan:

Sejak #ln x> 0 # dalam selang waktu # 1, e #, kita ada

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

di sini, supaya integral menjadi

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Pengganti #ln x = u #, kemudian # dx / x = du # supaya itu

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Ini adalah salah satu perkara yang tidak sepatutnya, kerana integrit menyimpang pada had yang lebih rendah. Ini ditakrifkan sebagai

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

jika ini wujud. Sekarang

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

kerana ini menyimpang dalam had #l -> 0 ^ + #, integral tidak wujud.

Jawapan:

# pi / 2 #

Penjelasan:

Yang penting # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Pengganti terlebih dahulu # u = ln (x) # dan # "d" u = ("d" x) / x #.

Oleh itu, kita ada

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Sekarang, ganti # u = sin (v) # dan # "d" u = cos (v) "d" v #.

Kemudian, (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-sin ^ 2 (v)) "d" v # sejak # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Terus, kita ada

(x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #