Apakah extrema tempatan, jika ada, f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x?

Jawapan:

Satu-satunya extremum adalah # x = 0.90322 … #, fungsi minimum

Tetapi anda perlu menyelesaikan persamaan padu untuk sampai di sana dan jawapan itu sama sekali tidak 'baik' - adakah anda pasti persoalan itu betul ditaip? Saya juga telah memasukkan cadangan-cadangan untuk mendekati jawapannya tanpa memasuki jumlah analisis yang ditunjukkan sepenuhnya di bawah.

Penjelasan:

1. Pendekatan standard menunjukkan kita dalam arah yang susah payah

Pertama mengira derivatif:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

jadi (mengikut peraturan rantaian dan kuota)

#f '(x) = 4 * 2 (4x-3) - (x- (x-4)) / x ^ 2 = 32x-24-4 / x ^ 2 #

Kemudian tetapkan ini sama dengan 0 dan selesaikan # x #:

# 32x-24-4 / x ^ 2 = 0 #

# 32x ^ 3-24x ^ 2-4 = 0 #

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

Kami mempunyai persamaan kubik, yang dapat diselesaikan oleh radikal, tetapi ini jauh dari proses yang mudah. Kita tahu bahawa persamaan ini secara amnya mempunyai tiga akar, tetapi tidak semuanya akan menjadi nyata, walaupun sekurang-kurangnya satu daripada mereka akan - sekurang-kurangnya satu akan kita ketahui dari Teorem Nilai Pertengahan - http: // en. wikipedia.org/wiki/Intermediate_value_theorem - yang memberitahu kita bahawa kerana fungsi itu pergi ke infiniti pada satu hujung dan tak terbatas infiniti di pihak lain, maka ia mesti mengambil semua nilai di antara satu titik atau yang lain.

Menguji beberapa nilai mudah (1 selalunya nilai bermaklumat dan pantas untuk dicuba), kita melihat bahawa ada akar di mana antara 1/2 dan 1, tetapi kita tidak menemui sebarang penyelesaian yang jelas untuk mempermudah persamaan dengan. Penyelesaian persamaan padu adalah proses yang panjang dan membosankan (yang akan kita lakukan di bawah), jadi patut dicuba untuk memberitahu gerak hati seseorang sebelum melakukannya. Penyelesaian menguji selanjutnya, kita mendapati bahawa ia adalah antara 0.9 dan 0.91.

2. Menyelesaikan masalah yang mudah

Fungsi ini terdiri daripada perbezaan dua istilah, # f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 # dan # f_2 (x) = (x-4) / x #. Untuk kebanyakan julat # x #, yang pertama akan dikuasai dengan baik, kerana istilah kedua akan mendekati 1 untuk semua nilai # x # jauh dari nilai-nilai kecil. Mari kita tanyakan bagaimana kedua-dua istilah individu berkelakuan.

Terma pertama, # f_1 #

# f_1 (x) = (4x-3) ^ 2 #

# f_1 ^ '(x) = 4 * 2 (4x-3) = 8 (4x-3) #

Tetapkan ini sama dengan sifar: # x = 3/4 #. Ini adalah di kawasan sifar fungsi yang kami dapati, tetapi ia tidak begitu dekat dengannya.

#f (1) # adalah parabola dalam # x #, satu yang menyentuh # x # paksi di # x = 3/4 #. Derivatifnya adalah garis lurus kecerunan lurus 32 yang melintasi paksi-x pada titik yang sama.

Kedua, # f_2 #

# f_2 (x) = (x-4) / x = 1-4 / x #

# f_2 ^ '(x) = 4 / x ^ 2 #

Tetapkan ini sama dengan sifar: tiada penyelesaian # x #. Jadi # f_2 # tidak mempunyai ekstrema sebagai fungsi sendiri. Walau bagaimanapun ia mempunyai titik di mana ia bertiup ke tak terhingga: # x = 0 #. Ia pergi ke infiniti positif kerana ia menghampiri 0 dari sisi negatif, dan ke infiniti negatif ketika ia mendekati 0 dari sisi positif. Jauh dari titik ini, lengkung cenderung kepada nilai 1 pada kedua-dua pihak. # f_2 # adalah hyperbola berpusatkan # (x, y) = (0,1) #. Derivatifnya adalah lengkung dalam dua keping, untuk negatif dan positif # x #. Ia pergi ke tak terhingga positif dari kedua-dua arah di # x = 0 # dan sentiasa positif.

Perhatikan bahawa # f_1 ^ '(x) <0 # untuk semua #x <0 #. Tidak boleh ada persimpangan # f_1 ^ '# dan # f_2 ^ '# pada negatif # x # paksi. Lebih positif # x # paksi mesti ada satu persimpangan - satu lengkung pergi dari kurang dari 0 hingga ke infiniti sebagai # x # tidak sama manakala yang lain pergi dari infinity kepada 0. Dengan aplikasi Teorem Nilai Pertengahan (lihat di atas) mereka mesti menyeberang tepat sekali.

Jadi sekarang kita yakin bahawa kita hanya mencari satu penyelesaian tetapi kita tidak mempunyai jawapan yang baik untuknya.

3. Secara numerik menghampiri jawapannya

Dalam situasi profesional yang memerlukan penyelesaian masalah seperti ini, sering cara paling cepat untuk mendapatkan ke mana anda perlu mendapatkan adalah dengan melakukan penghampiran berangka. Satu yang baik untuk mencari akar fungsi ialah kaedah Newton-Raphson (http://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method).

Yang mana: untuk mencari akar fungsi # f #, mula-mula buat meneka # x_0 # pada akar, dan kemudian berulang pusingan dan bulat mengikut formula ini:

# x_1 = x_0-f (x_0) / (f '(x_0)) #

# x_1 # adalah ramalan yang lebih baik daripada # x_0 #, dan satu lagi mengulangi ini sehingga ketepatan yang diinginkan dicapai.

Ingatlah fungsi kami dan derivatifnya:

#f (x) = (4x-3) ^ 2- (x-4) / x #

#f '(x) = 8 (4x-3) -4 / x ^ 2 #

Jadi kita mungkin meneka 0.5 sebagai akar kita, membuat # x_0 = 0.5 #, #f (x_0) = 8 #, #f '(x_0) = - 24 #. Oleh itu # f_1 = 0.5 + 8/24 = 0.5 + 1/3 = 0.8333 …. #, sememangnya jawapan yang lebih dekat. Mengulangi membawa kita kepada nilai kira-kira 0.9 yang disebutkan di atas.

Jadi kita dapat mencari jawapan dengan ketepatan sewenang-wenangnya, tetapi jawapan penuh memerlukan penyelesaian analitik, sesuatu yang kita perhatikan di atas akan menjadi sukar. Jadi di sini kita pergi …

4. Selesaikan masalah penuh, dengan perlahan dan menyakitkan

Sekarang mari kita lakukan penyelesaian padu penuh (anda perlu mencintai algebra untuk menyelesaikannya dengan betul):

Pertama, perpecahan untuk menjadikan istilah utama mempunyai pekali 1:

# 8x ^ 3-6x ^ 2-1 = 0 #

# x ^ 3-3 / 4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

Kedua, buat penggantian berikut kepada pembolehubah # y # untuk menghapuskan # x ^ 2 # istilah:

Pengganti # x = y + 1/4 #. Lebih umum, untuk persamaan bentuk # ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 #, seseorang akan menggantikannya # x = y-b / (3a) #. Jika anda bekerja melalui algebra, anda akan melihat bahawa ini selalu menyebabkan # x ^ 2 # istilah untuk lenyap. Dalam kes ini kita dapat:

# x ^ 3 -3/4 x ^ 2 - 1/8 = 0 #

# (y + 1/4) ^ 3 -3/4 (y + 1/4) ^ 2 - 1/8 = 0 #

(Memperluas kurungan, mengingati teorem Binomial:

# y ^ 3 + 3/4 y ^ 2 + 3/16 y + 1 / 64-3 / 4 y ^ 2-3 / 8y-3 / 64-1 /

(Perhatikan bahawa kedua-dua # y ^ 2 # istilah tepat dibatalkan)

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

Kami kini mempunyai bilangan istilah yang sama seperti yang kita lakukan sebelum ini, kerana kami sebelum ini tidak mempunyai # y # terma. Kehilangan # y ^ 2 # Istilah adalah keuntungan matematik, janji!

Ketiga, buat penggantian lain (penggantian Vieta: http://mathworld.wolfram.com/VietasSubstitution.html) untuk mengubahnya menjadi kuadrat:

Pengganti # y = w + 1 / (16w) #. Lebih umum, untuk persamaan bentuk # y ^ 3 + py = q #, penggantian ini adalah # y = w-p / (3w) #.

# y ^ 3-3 / 16y = 5/32 #

# (w + 1 / (16w)) ^ 3-3 / 16 (w + 1 / (16w)) = 5/32 #

# w ^ 3 + 3 / 16w + 3 / (256w) + 1 / (4096w ^ 3) -3 / 16w-3 / 256w = 5/32 #

(Perhatikan bahawa kedua-duanya # w # dan # 1 / w # syarat dibatalkan dengan tepat)

# w ^ 3 + 1 / (4096w ^ 3) = 5/32 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

(Sekarang, anda mungkin bertanya apa manfaatnya di bumi ini - kita telah meredakan persamaan ijazah 3 kita sehingga kita mempunyai persamaan ijazah 6, pasti kerugian … Tetapi sekarang kita dapat memikirkannya sebagai persamaan kuadrat dalam # w ^ 3 #, dan kita dapat menyelesaikan persamaan kuadratik …)

Keempat, selesaikan persamaan kuadrat untuk # w ^ 3 #

# w ^ 6-5 / 32w ^ 3 + 1/4096 = 0 #

# (w ^ 3) ^ 2-5 / 32 (w ^ 3) + 1/4096 = 0 #

Menggunakan persamaan kuadratik:

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (25 / 1024-1 / 1024)) / 2 #

# w ^ 3 = (5/32 + -sqrt (24/1024)) / 2 = (5/32 + -sqrt (24) / 32) / 2 #

# w ^ 3 = (5 + -sqrt (24)) / 64 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Kami mempunyai jawapan! Sekarang kita hanya perlu mengaitkannya kembali kepada pemboleh ubah asal kita # x #.

Kelima, diubah kembali kepada istilah asal kami

# w ^ 3 = (5 + -2sqrt (6)) / 64 #

Ambil akar kiub:

#w = (5 + -2sqrt (6)) / 64 ^ (1/3) #

#w = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Ingat bagaimana kita berkaitan # y # kepada # w # sebelum ini: # y = w + 1 / (16w) #

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 + 1 / (4 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)

Sekarang # 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = 1 / (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) * (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / ((5 + -2sqrt (6)) (- 5 + -2sqrt (6)) ^ (1/3) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 25 + 4 * 6 ^ (1/3)) #

# = (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / (- 1) = - - 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3) #

(Socratic nampaknya tidak menawarkan bertentangan minus plus plus-tolak, jadi kita perlu menulisnya dengan cara ini)

Oleh itu

#y = (5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 - (- 5 + -2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Jika kita melipatgandakan tanda-tanda tolak dalam istilah besar kedua kita dapat melihat bahawa kita memperoleh dua ungkapan yang sama, jadi kita dapat menggugurkan tanda tambah / tolak kuadratik dan memudahkan

# y = 1/4 (5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) #

Akhirnya (!) Ingat yang kami tetapkan # x = y + 1/4 #.

Oleh itu

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

Keenam, tentukan berapa banyak akar-akar ini nyata

Kedua-dua ungkapan dalam akar kiub masing-masing mempunyai akar sebenar dan dua akar khayalan conjugate. Nombor sebenar # a # mempunyai tiga akar kubus # a ^ (1/3) #, # a ^ (1/3) (1/2 + isqrt (3) / 2) #,# a ^ (1/3) (1/2-isqrt (3) / 2) #. Sekarang kita tahu bahawa kedua-dua ungkapan di dalam akar kubus adalah positif (notis # 5 = sqrt (25)> sqrt (24) = 2sqrt (6) #), jadi komponen khayalan dalam nilai kedua dan ketiga untuk # x # tidak boleh jumlahnya menjadi sifar.

Kesimpulannya

Oleh itu, hanya terdapat satu akar sebenar untuk # x # (seperti yang kita buat jauh di atas dengan analisis yang lebih mudah), dan oleh itu hanya satu ekstrem tempatan yang anda tanyakan tentang, yang diberikan oleh ungkapan

# x = (1+ 5 + 2sqrt (6) ^ (1/3) + 5-2sqrt (6) ^ (1/3)) / 4 #

atau, dalam perpuluhan

# x = 0.90322 … #

Kita boleh menyimpulkan bahawa ini adalah minimum fungsi oleh hakikat bahawa hanya ada satu ekstremum dan fungsi itu cenderung kepada infiniti positif di kedua-dua hujungnya.