Apakah extrema tempatan, jika ada, f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Jawapan:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # mempunyai minimum tempatan untuk # x = 1 # dan maksimum tempatan untuk # x = 3 #

Penjelasan:

Kami ada:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

fungsi itu ditakrifkan dalam semua # RR # sebagai # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

Kita boleh mengenal pasti perkara kritikal dengan mencari di mana derivatif pertama sama dengan sifar:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

jadi perkara kritikal adalah:

# x_1 = 1 # dan # x_2 = 3 #

Oleh kerana penyebut sentiasa positif, tanda #f '(x) # adalah kebalikan dari tanda pengangka # (x ^ 2-4x + 3) #

Sekarang kita tahu bahawa polinomial pesanan kedua dengan pekali utama yang positif adalah positif di luar selang yang terdiri antara akar dan negatif dalam selang antara akar, supaya:

#f '(x) <0 # untuk #x dalam (-oo, 1) # dan #x dalam (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # untuk #x dalam (1,3) #

Kami ada begitu #f (x) # semakin menurun # (- oo, 1) #, semakin meningkat #(1,3)#, dan sekali lagi berkurangan # (3, + oo) #, jadi # x_1 = 1 # mestilah minimum tempatan dan # x_2 = 3 # mestilah maksimum tempatan.

graf {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1.42, 8.58, -0.08, 4.92}