Bagaimana untuk mengira jumlah ini? sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n

Jawapan:

Lihat di bawah.

Penjelasan:

Memandangkan #abs x <1 #

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ nn (n-1) x ^ n = x ^ 2 d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n #

tetapi # sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 1 / (1 - (- x)) - 1 # dan

# d ^ 2 / (dx ^ 2) sum_ (n = 1) ^ oo (-x) ^ n = 2 / (x + 1) ^ 3 # kemudian

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (x + 1) ^ 3 #

Jawapan:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 # bila # | x | <1 #

Penjelasan:

Kami bermula dengan menulis beberapa pekali:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … =

Perkara pertama yang kita mahu lihat adalah pekali (tahap # x # boleh agak mudah diselaraskan dengan mendarab dan membahagikan siri dengan # x #, jadi mereka tidak begitu penting). Kita lihat bahawa mereka semua adalah gandaan dua, jadi kita boleh mengeluarkan faktor dua:

# = 2 (x ^ 2-3x ^ 3 + 6x ^ 4-10x ^ 5 …) #

Koefisien di dalam kurungan ini boleh diiktiraf sebagai siri binomial dengan kuasa # alpha = -3 #:

(1 + x) ^ alpha = 1 + alphax + (alpha (alpha-1)) / (2!) X ^ 2 + (alpha (alpha-1) (alpha-2) … #

# (1 + x) ^ - 3 = 1-3x + 6x ^ 2-10x ^ 3 … #

Kami perhatikan bahawa para eksponen semua istilah dalam kurungan lebih besar sebanyak dua berbanding dengan siri yang baru kita hasilkan, jadi kita mesti melipatgandakan # x ^ 2 # untuk mendapatkan siri yang betul:

# 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2-6x ^ 3 + 12x ^ 4-20x ^ 5 … #

Ini bermakna bahawa siri kami (apabila ia bersatu) sama dengan:

# (2x ^ 2) / (1 + x) ^ 3 #

Hanya untuk mengesahkan bahawa kami tidak membuat kesilapan, kami boleh dengan cepat menggunakan Siri Binomial untuk mengira siri untuk # 2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 #:

2x ^ 2 (1 + x) ^ - 3 = 2x ^ 2 (1-3x + (- 3) (- 4)) / (2!) X ^ 2 + ((- 3) 5)) / (3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4!) / (2 * 2!) X ^ 2 (5!) / (2 * 3!) X ^ 3 …) = #

# = 2x ^ 2 (1-3x + (4 * 3) / 2x ^ 2- (5 * 4) / 2x ^ 3 …) = #

Kita boleh menggambarkan corak seperti ini:

# = 2x ^ 2sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ n (n (n-1)) / 2x ^ (n-2) = sum_ (n = 0) ^ oo (-1) ^ nn n-1) x ^ n #

Sejak terma pertama adalah adil #0#, kita boleh menulis:

#sum_ (n = 1) ^ oo (-1) ^ n n (n-1) x ^ n #

yang merupakan siri yang kami mulakan, mengesahkan hasil kami.

Sekarang kita hanya perlu mengetahui selang konvergensi, untuk melihat apabila siri itu sebenarnya mempunyai nilai. Kita boleh melakukan ini dengan melihat keadaan penumpuan untuk siri binomial dan mendapati bahawa siri ini bersatu ketika # | x | <1 #