Menyelesaikan ini menggunakan integrasi riemann?

Jawapan:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # atau # approx 1.302054638 … #

Penjelasan:

Identiti nombor satu yang paling penting untuk menyelesaikan sebarang masalah dengan produk tak terhingga adalah menukarkannya menjadi masalah dengan jumlah yang tidak terhingga:

# prod_ {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

EMPHASIS:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Tetapi, sebelum kita dapat melakukan ini, kita mesti terlebih dahulu berurusan dengan # frac {1} {n ^ 2} dalam persamaan dan btw mari kita sebut produk yang tak terhingga L:

# L = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac { {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

# = lim_ {n to + infty} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^) ^ { frac {1} {n}} = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n}} #

Sekarang kita boleh menukar ini menjadi jumlah tak terhingga:

# L = lim_ {n to + infty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ { frac {1} {n} \\\\\\\ " {n}}) #

memohon sifat logaritma:

L {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Dan menggunakan sifat had:

# L = exp lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Mari kita panggil jumlah tak terhingga S:

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Dan ingatlah itu

# L = exp (S) #

Sekarang mari selesaikan persoalan anda dengan menukarnya dari a SUMBER RIEMANN kepada a DEFINITE INTEGRAL:

Ingat definisi jumlah Riemann ialah:

EMPHASIS:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n })) * frac {ba} {n} #

Biarkan

# lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^

Sekarang, mari # f (x) = ln (1 + x ^ 2) dan a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Oleh itu, b = 1 iaitu.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Oleh itu,

# S = lim_ {n to + infty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Selesaikan # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

gunakan integrasi mengikut bahagian:

# int uv dx = u int v dx - int (u '* int vdx) dx #

Biarkan # u = ln (1 + x ^ 2) dan v = 1 #

Kemudian, gunakan peraturan rantai dan derivatif logaritma semula jadi untuk mendapatkan # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

dan gunakan peraturan kuasa untuk mendapatkan: # int 1dx = x #

# int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - int (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx

# = ln (1 + x ^ 2) * x - int frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Gunakan peraturan penolakan:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - int frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Gunakan peraturan kuasa untuk integral pertama dan integral kedua adalah fungsi trigonometri piawai # arctan (x) # (kebalikan fungsi tangen)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Oleh itu, # int ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Sekarang selesaikan untuk integral yang pasti:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

kita tahu bahawa anti-derivatif itu # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #, Oleh itu

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

ambil perhatian bahawa arctan (1) adalah 45 ° atau # frac { pi} {4} # (ingat segitiga khas khas dengan panjang sisi 1,1, # sqrt {2} # dan sudut 45 °, 45 °, 90 °) dan juga # arctan (0) = 0 #

Oleh itu #S = ln (2) - 2 + 2 (frac { pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac { pi} {2}

atau # approx 0.263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frac { pi} {2} = e ^ {ln (2) pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Oleh itu penyelesaiannya adalah # lim_ {n to + infty} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ { frac {1} }} = frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # atau # approx 1.302054638 … #