X ^ 4-4x ^ 3 + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Bagaimana untuk menyelesaikan x?

Jawapan:

# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Penjelasan:

Oleh sebab kuartik ini tidak mempunyai akar yang rasional (dan saya tidak boleh diganggu dengan formula), kita mula menggunakan kaedah Newton untuk menghampiri akar:

# x ~~ -0.303 #

# x ~~ -0.618 #

# x ~~ 1.618 #

# x ~~ 3.303 #

Daripada jumlah ini, kita dapati # x ~~ -0.618 # dan # x ~~ 1.618 # menonjol. Kami mengiktiraf ini sebagai nisbah emas:

# x = (1 + -sqrt5) / 2 #

Kami juga boleh mengesahkan bahawa mereka adalah akar dengan memasukkan mereka ke dalam persamaan, tetapi anda hanya boleh mengambil perkataan saya bahawa mereka memang akar.

Ini bermakna bahawa berikut adalah faktor persamaan:

# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 =

# = x ^ 2-x-1 #

Sejak itu, kita tahu # x ^ 2-x-1 # adalah faktor, kita boleh menggunakan bahagian polinomial lama untuk mengetahui bakinya dan menulis semula persamaan seperti itu:

# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #

Kita sudah tahu apabila faktor kiri sama dengan sifar, jadi sekarang kita melihat ke kanan. Kita boleh menyelesaikan kuadratik menggunakan formula kuadratik untuk mendapatkan:

# x = (3 + -sqrt13) / 2 #