Apakah int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Jawapan:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Penjelasan:

Penjelasan ini agak lama, tetapi saya tidak dapat mencari cara yang lebih cepat untuk melakukannya …

Integral adalah aplikasi linear, jadi anda sudah dapat memisahkan fungsi di bawah tanda integral.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

2 istilah pertama adalah fungsi polinomial, jadi ia mudah diintegrasikan. Saya menunjukkan kepada anda bagaimana untuk melakukannya dengan # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # jadi # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Anda melakukan perkara yang sama # x ^ 3 #, hasilnya adalah #255/4#.

Mencari #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # agak lama dan rumit. Mula-mula anda mengalikan pecahan oleh #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # dan kemudian anda mengubah pembolehubah: katakanlah #u = sqrt (x-1) #. Jadi # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # dan anda perlu mencari # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Untuk mendapatkannya, anda memerlukan penguraian pecahan sebahagian daripada fungsi rasional # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (kapak + b) / (x ^ 2 +1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # dengan # a, b, c, d dalam RR #. Selepas kalkulus, kita dapati itu # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 +1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, yang bermaksud # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2)

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # sudah diketahui, ia adalah #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Akhirnya, (2) (2) (2) (2) (2) (2) (1 + u ^ 2) #

Anda menggantikan # u # dengan ungkapan asalnya dengan # x # untuk mempunyai #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, iaitu #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Jadi akhirnya, # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #