Bolehkah fungsi menjadi berterusan dan tidak dapat dibezakan di domain tertentu ??

Jawapan:

Ya.

Penjelasan:

Salah satu contoh yang paling menarik ialah fungsi Weierstrass yang ditemui oleh Karl Weierstrass yang ditakrifkan dalam kertas aslinya sebagai:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

di mana # 0 <a <1 #, # b # adalah integer ganjil yang positif dan #ab> (3pi + 2) / 2 #

Ini adalah fungsi yang sangat tegas yang berterusan di mana-mana di garisan Real, tetapi tidak dapat dikesan dengan baik.

Jawapan:

Ya, jika ia mempunyai titik "bengkok". Satu contoh ialah #f (x) = | x | # pada # x_0 = 0 #

Penjelasan:

Fungsi berterusan secara praktikal bermakna menariknya tanpa mengambil pensil anda dari kertas. Matematik, ini bermakna bahawa untuk mana-mana # x_0 # nilai - nilai #f (x_0) # kerana mereka didekati dengan sangat kecil # dx # dari kiri dan kanan mestilah sama:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

di mana tanda minus bermaksud mendekati dari tanda kiri dan ditambah bermakna mendekati dari kanan.

Fungsi yang boleh difahami secara praktikal bermakna fungsi yang secara berterusan mengubah cerunnya (TIDAK pada kadar malar). Oleh itu, satu fungsi yang tidak dapat dibezakan pada sesuatu titik praktikal bermakna bahawa ia secara tiba-tiba mengubah cerun itu dari sebelah kiri titik itu ke kanan.

Mari lihat 2 fungsi.

#f (x) = x ^ 2 # pada # x_0 = 2 #

Grafik

graf {x ^ 2 -10, 10, -5.21, 5.21}

Grafik (berzum)

graf {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Sejak pada # x_0 = 2 # graf boleh dibentuk tanpa mengambil pensil dari kertas, fungsi itu berterusan pada ketika itu. Oleh kerana ia tidak bengkok pada ketika itu, ia juga berbeza.

#g (x) = | x | # pada # x_0 = 0 #

Grafik

graf {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

Pada # x_0 = 0 # fungsi ini berterusan kerana ia boleh diambil tanpa mengambil pensil dari kertas. Walau bagaimanapun, kerana ia menyentuh pada ketika itu, fungsi itu tidak berbeza.