Apakah maksud had fungsi?

Jawapan:

Penyataan #lim_ (x a) f (x) = L # bererti: sebagai # x # semakin dekat # a #, #f (x) # semakin dekat # L #.

Penjelasan:

Takrifan yang tepat ialah:

Untuk mana-mana nombor sebenar #ε>0#, terdapat nombor sebenar yang lain #δ>0# sedemikian rupa jika jika # 0 <| x-a |<>, kemudian # | f (x) -L |<>.

Pertimbangkan fungsinya #f (x) = (x ^ 2-1) / (x-1) #.

Sekiranya kita merancang grafik, ia kelihatan seperti ini:

Kita tidak boleh mengatakan apa nilai di # x = 1 #, tetapi ia kelihatan seolah-olah #f (x) # pendekatan #2# sebagai # x # pendekatan #1#.

Mari cuba untuk menunjukkannya #lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #.

Persoalannya, bagaimana kita dapat dari # 0 <| x-1 |<> kepada # | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | <>?

Kita mesti bermula dengan beberapa nilai #ε# dan kemudian cari mencari nilai yang sesuai untuk #δ#.

Mari bermula dengan

# | (x ^ 2-1) / (x-1) -2 | = | ((x + 1) (x-1)) / (x-1) -2 | = | x + 1-2 | = | x-1 |<>

Keadaan lain ialah

# | x-1 | <δ #

Takrif sama jika betul #δ = ε#.

Kami baru sahaja menunjukkan bahawa untuk apa-apa #ε#, ada #δ# supaya itu # | f (x) -2 |<> bila # 0 <| x-1 |<>.

Jadi kami telah menunjukkannya

#lim_ (x 1) (x ^ 2-1) / (x-1) = 2 #