Apakah domain dan julat (2/3) ^ x - 9?

Jawapan:

Domain: # (- ya, ya) #

Julat: # (- 9, oo) #

Penjelasan:

Pertama ambil perhatian bahawa # (2/3) ^ x-9 # didefinisikan dengan baik untuk sebarang nilai sebenar # x #. Jadi domain adalah keseluruhannya # RR #, iaitu # (- ya, ya) #

Sejak #0 < 2/3 < 1#, fungsinya # (2/3) ^ x # adalah fungsi yang semakin berkurangan yang mengambil nilai positif yang besar apabila # x # besar dan negatif, dan asimtotik #0# untuk nilai positif yang besar # x #.

Dalam notasi had, kita boleh menulis:

#lim_ (x -> - oo) (2/3) ^ x = -oo #

#lim_ (x-> oo) (2/3) ^ x = 0 #

# (2/3) ^ x # adalah berterusan dan ketat secara monotonik berkurang, jadi rangkaiannya # (0, oo) #.

Tolakkan #9# untuk mengetahui bahawa julat # (2/3) ^ x # adalah # (- 9, oo) #.

Katakanlah:

#y = (2/3) ^ x-9 #

Kemudian:

# y + 9 = (2/3) ^ x #

Jika #y> -9 # maka kita boleh mengambil balak kedua-dua pihak untuk mencari:

#log (y + 9) = log ((2/3) ^ x) = x log (2/3) #

dan seterusnya:

#x = log (y + 9) / log (2/3) #

Jadi untuk apa-apa #y dalam (-9, oo) # kita boleh mencari yang sepadan # x # seperti itu:

# (2/3) ^ x-9 = y #

Yang mengesahkan bahawa julatnya adalah keseluruhan # (- 9, oo) #.

Apakah domain dan julat 3x-2 / 5x + 1 dan domain dan pelbagai songsang fungsi?

Domain adalah semua reals kecuali -1/5 yang merupakan pelbagai songsang. Julat adalah semua reals kecuali 3/5 yang merupakan domain dari songsang. f (x) = (3x-2) / (5x + 1) ditakrifkan dan nilai sebenar untuk semua x kecuali -1/5, jadi domain f dan julat f ^ -1 Setting y = (3x -2) / (5x + 1) dan penyelesaian untuk x menghasilkan 5xy + y = 3x-2, jadi 5xy-3x = -y-2, dan oleh itu (5y-3) x = -y-2, jadi, akhirnya x = (- y-2) / (5y-3). Kita lihat bahawa y! = 3/5. Jadi julat f ialah semua reals kecuali 3/5. Ini juga merupakan domain f ^ -1.

Jika fungsi f (x) mempunyai domain -2 <= x <= 8 dan pelbagai -4 <= y <= 6 dan fungsi g (x) ditakrifkan oleh formula g (x) = 5f ( 2x)) maka apakah domain dan julat g?

Di bawah. Gunakan transformasi fungsi asas untuk mencari domain dan julat baharu. 5f (x) bermakna fungsi itu secara tegak diregangkan oleh faktor lima. Oleh itu, julat baru akan menjangkau jarak yang lima kali lebih tinggi daripada yang asal. Dalam kes f (2x), peregangan mendatar dengan faktor separuh digunakan untuk fungsi itu. Oleh itu, ekstremiti domain adalah separuh. Et voilà!

Jika f (x) = 3x ^ 2 dan g (x) = (x-9) / (x + 1), dan x! = - 1, maka apakah f (g (x) g (f (x))? f ^ -1 (x)? Apakah domain, julat dan nol untuk f (x)? Apakah domain, julat dan nol untuk g (x)?

F (x)) = 3 (x-9) / (x + 1)) ^ 2 g (f (x)) = (3x ^ 2-9) / (3x ^ 2 + (X) = root () (x / 3) D_f = {x in RR}, R_f = {f (x) 1}, R_g = {g (x) dalam RR; g (x)! = 1}